资源描述
一次函数与面积问题（3大技巧）
方法一：割补法
方法二： 坐标系内求三角形面积
过△ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，选定两条直线之间的距离 BE 叫做△
ABC 的水平宽，中间的直线与直线 BC 交得的 AD 长度叫做△ABC 的铅垂高
【典例1】（沙坪坝区校级月考）已知一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴的交点分别为A、B，点P在直线y＝2x上．
（1）若点P是一次函数y＝﹣x+4的图象与直线y＝2x的交点，求△OBP的面积；
（2）若△ABP的面积为12时，求点P的坐标．
【答案】（1） （2）P点坐标为：（，）或（﹣，﹣）
【解答】解：（1）依题意，得A（4，0），B（0，4）．
由，解得：，
∴P（，），
∴S△OBP＝•OB•xP＝×4×＝；
（2）设P（x，2x），分两种情况：
①若点P在第一象限时，则x＞0，
∵S△ABP＝S△OAP+S△OBP﹣S△OAB
＝•OA•yP+•OB•xP﹣•OA•OB
＝×4×2x+×4×x﹣×4×4
＝4x+2x﹣8
＝6x﹣8，
∴6x﹣8＝12，
解得x＝，
∴P（，）；
②若点P在第三象限时，则x＜0，
∵S△ABP＝S△OAP+S△OBP+S△OAB，
＝×4×（﹣2x）+×4×（﹣x）+×4×4
＝﹣4x﹣2x+8
＝﹣6x+8，
∴﹣6x+8＝12，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，﹣）．
综上所述，P点坐标为：（，）或（﹣，﹣）．
【变式1-1】（2019秋•鼓楼区期末）如图，直线PA是一次函数y＝x+1的图象，直线PB是一次函数y＝﹣2x+2的图象．
（1）求A、B、P三点的坐标；
（2）求四边形PQOB的面积．
【解答】（1） P（，） （2）
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，∴A（﹣1，0），
一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴交于点B，∴B（1，0），
由，解得，∴P（，）．
（2）设直线PA与y轴交于点Q，则Q（0，1），直线PB与y轴交于点M，则M（0，2），
∴四边形PQOB的面积＝S△BOM﹣S△QPM＝×1×2﹣×1×＝．
【变式1-2】（2020春•南宁期末）平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别是（﹣4，0）、（0，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，点P是直线AB上一点，若△AOP的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）若点P满足（2）的条件，且在第一象限内，如图2．点M是y轴负半轴上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交x轴于点N．当点M运动时，（ON﹣OM）的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+2 （2点P（4，4）或（﹣12，﹣4）） （3）定值
【解答】解：（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AB解析式为：y＝x+2；
（2）设点P（a，a+2），
∵△AOP的面积是△AOB面积的2倍，
∴2××4×2＝×4×|a+2|，
∴a＝﹣12或4，
∴点P（4，4）或（﹣12，﹣4）；
（3）（ON﹣OM）的值为定值，
理由如下：如图，过点P作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，
∵点P（4，4），
∴PE＝PF，
∵PE⊥y轴，PF⊥x轴，∠EOF＝90°，
∴四边形EOFP是矩形，
∴四边形EOFP是正方形，
∴EO＝OF＝PE＝PF＝4，∠EPF＝90°＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
又∵PE＝PF，∠PEM＝∠NPF，
∴△MPE≌△NPF（AAS），
∴EM＝FN，
∴ON﹣OM＝OF+FN﹣（EM﹣EO）＝FO+EO＝8，
∴（ON﹣OM）的值为定值．
【典例2】（2021秋•龙华区期中）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
【解答】（1） y＝﹣x+3（2）Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）
【解答】解：（1）对于y＝x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，
故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；
【变式2】（2021秋•溧水区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的表达式为y＝2x﹣6，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），直线AB与直线l相交于点P．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）若直线l上存在一点C，使得△APC的面积是△APO的面积的2倍，直接写出点C的坐标．
【解答】（1） y＝﹣2x+2．（2） 点P的坐标为（2，﹣2） （3）C（3，0）或（1，﹣4）
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b．
由点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），
可知，
解得，
所以直线AB的表达式为y＝﹣2x+2．
（2）由题意，得，
解得，
所以点P的坐标为（2，﹣2）．
（3）直线l的表达式为y＝2x﹣6，令y＝0，则x＝3，
∴直线l与x轴交于（3，0），
设点C的坐标为（x，2x﹣6），
∵△APC的面积是△APO的面积的2倍，
∴×（3﹣1）×|2x﹣6﹣（﹣2）|＝2××1×2，
解得x＝1或3，
∴C（3，0）或（1，﹣4）．
1．（涪陵区期末）如图，直线y＝x+1与x，y轴交于点A，B，直线y＝﹣2x+4与x、y轴交于点D，C，这两条直线交于点E．
（1）求E点坐标；
（2）若P为直线CD上一点，当△ADP的面积为9时，求P的坐标．
【答案】（1） E的坐标为（1，2） （2）P的坐标为（﹣1，6）或（5，﹣6）．
【解答】解：（1）将y＝x+1代入y＝﹣2x+4得：x+1＝﹣2x+4，解得：x＝1，
将x＝1代入y＝x+1得：y＝2．
∴点E的坐标为（1，2）．
（2）把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
把y＝0代入y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴D（2，0）．
∴AD＝3．
∵△ADP的面积为9，
∴×3×|yP|＝9，解得：|yP|＝6．
∴yP＝6或yP＝﹣6．
将y＝6代入y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝6，解得：x＝﹣1，
∴P（﹣1，6）．
将y＝﹣6代入y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝﹣6，解得：x＝5，
∴P（5，﹣6）．
综上所述，点P的坐标为（﹣1，6）或（5，﹣6）．
2．（2021秋•兴化市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，4OA＝3OB．
（1）求k的值；
（2）点P在线段AB上，连接OP．若S△AOB＝3S△BOP，求点P的坐标；
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式．
【答案】（1） k＝﹣ （2）（1，） （3）y＝﹣x+．
【解答】解：（1）直线y＝kx+4中，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵4OA＝3OB，
∴OA＝3，
由图可知点A在x轴的正半轴，
∴A（3，0），
∴3k+4＝0，
∴k＝﹣．
（2）由（1）知OA＝3，OB＝4，y＝﹣x+4，
∴S△AOB＝•OA•OB＝×3×4＝6，
∵S△AOB＝3S△BOP，
∴S△BOP＝S△AOB＝2．
过点P作PM⊥y轴于点M，
∴S△BOP＝•OB•PM＝2，即×4PM＝2，
∴PM＝1，即点P的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣×1+4＝；
∴点P的坐标为（1，）．
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，则∠BAC＝45°，如图，过点B作BD⊥AB交直线AC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴∠BED＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠OBD＝∠BDE+∠OBE＝90°，
∴∠ABO＝∠BDE，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BDA＝45°，
∴BD＝AB，
∴△BDE≌△ABO（AAS），
∴BE＝OA＝3，DE＝OB＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝1，
∴D（﹣4，1），
设直线AC的解析式为：y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+．
3.（2021春•柳南区校级期末）如图，过点C（0，﹣2）的直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与直线l2：y2＝x+1交于点P（2，m），且直线l1与x轴交于点B，直线l2与x轴交于点A．
（1）直接写出使得y1＜y2的x的取值范围；
（2）求点P的坐标和直线l1的解析式；
（3）若点M在x轴的正半轴上运动，点M运动到何处时△ABP与△BPM面积相等？求出此时△BPM面积．
【答案】（1） 当x＜2时，y1＜y2 （2）y1＝x﹣2 （3）S△BPM＝
【解答】解：（1）当x＜2时，y1＜y2；
（2）把点P（2，m）代入y2＝x+1中，得m＝2+1＝3，
∴点P的坐标为（2，3）．
把点C（0，﹣2）、P（2，3）分别代入y1＝kx+b中，得
，解得，
∴直线l1的解析式为y1＝x﹣2；
（3）由（2）得点P的坐标为（2，3），
∵△ABP与△BPM有相同的高，即h＝3．要使△ABP与△BPM面积相等，且点M在x轴正半轴上．
∴在x轴上取点M，当AB＝BM时，△ABP与△BPM面积相等．
∵在直线中，当y＝0时，，即点B的坐标是（，0），
∴AB＝1+＝，BM＝OM﹣OB＝，
∴OM＝，则点M运动到（，0）时△ABP与△BPM面积相等．
∴S△BPM＝．
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