陕西省西安市阎、高、蓝、周、临、鄠六区县2022-2023学年高三联考（一）理科数学试题 附答案

保密★启用前 2023届西安市阎、高、蓝、周、临、鄠六区县高三年级联考（一） 理科数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D．5 2．设集合，，且，则（ ） A． B． C．2 D．4 3．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在数列中，，则（ ） A．36 B．15 C．55 D．66 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）种 A．120 B．180 C．240 D．360 7．已知，，且与的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 8．某风景区在大门外新建一个标志，抽象出其曲线，在如图所示的直角坐标系中，与下列函数解析式的最接近的是（ ） A． B． C． D． 9．设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的一个极值点为1，若，，则的最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D． 11．点为圆：上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．准线方程为的抛物线的标准方程是______． 14．在代数式的展开式中，四次项的系数是______．（用数字作答） 15．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 16．已知函数有两个零点，，且，则直线的斜率的取值范围是______． 三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）若，求； （2）若，且，求的面积． 18．（本小题满分12分） 已知四面体，、分别在棱、上，且，，为棱上任意一点（不与重合）． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分） 已知椭圆：（），、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任一点，且的最大值和最小值分别为3和1，过的直线为． （1）求椭圆的方程； （1）设直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 20．（本小题满分12分） 2022年11月29日23时08分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十五运载火箭，成功将神舟十五号载人飞船送入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明和张陆3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某公司负责生产的型材料是神舟十五号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将型材料更好投入商用，拟对型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入（亿元）与产品的直接收益（亿元）的数据统计如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65 当时，建立了与的两个回归模型： 模型①：，模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为． 回归模型 模型① 模型② 79.13 20.12 （1）根据表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模拟，预测对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益； （2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给与公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益＋国家补贴）的大小． 附：，且当越大时，回归方程的拟合效果越好，，用最小二乘法求线性回归方程的截距． 21．（本小题满分12分） 已知函数（，）． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线：（）与曲线的交点为、，曲线的交点为，求的值． 23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数，（）． （1）求不等式的解集； （2）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围． 2023届西安市阎、高、蓝、周、临、鄠六区县高三年级联考（一） 理科数学参考答案 1．B（因为，所以，所以，即．） 2．C（求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得： 由于，故：，解得：．） 3．B（，“”是“”的必要不充分条件．） 4．C（由题意得， 则． 5．C（通过观察题目可得：与两角整体相加得，可由诱导公式的）． 6．C（5项工作分成1组，可得： 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．） 7．A（∵，，且与的夹角为，∴ ∴，故．） 8．C（由图象可知，满足条件的拟合函数为奇函数，在上单调递增，且，使，对于函数（），当时，，故不满足，排除A； 对于函数，当时，该函数单调递减，排除B； 对于函数，当时，，排除D．） 9．C（由图可得：函数图象过点， 将它代入函数可得， 又是函数图象与轴负半轴的第一个交点， 所以，解得：，所以函数的最小正周期为） 10．B（对求导得， 因为函数的一个极值点为1，所以，所以， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为9．） 11．D（整理直线方程得：， 由得，∴， 由圆的方程知圆心，半径， ∴．） 12．B（∵时，，，∴，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，， 令，整理得：， ∴，∴，（舍）， ∴时，成立，即．） 13．（由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为（），则其准线方程为，得． ∴该抛物线的标准方程是．） 14．（展开式的通项为，令，得，，故答案为．） 15．（因为为定义在上的奇函数． 所以，即， 又，即函数关于对称，又关于原点对称， 所以函数为以为周期的周期函数． 所以．） 16．（二次函数有两个零点，，且 则， 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分， 由图可知，，， 联立，解得． 直线的斜率为， 其几何意义为可行域内动点与定点连线斜率的倒数， 由图可知，，， ∴直线的斜率的取值范围是．） 17．（1）由，得．又，所以． 由余弦定理知： （2）由已知，且，所以．故 18．（1）证明，∵，∴， ∵，∴，又平面，平面， ∴平面． （2）解：取的中点，连接， 以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为3，则正四面体的高为， ∴，，， ∴，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，∴． 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19．（1）由椭圆的性质可知，，解得，，， 所以椭圆方程为， （2）由题意分析可知直线的斜率不能为零， 设，，的方程为， 联立方程，得，， ∴，， ∴ 所以当且仅当时取到最大值3，， 即三角形面积的最大值为3．） 20．（1）对于模型①，对应的， 故对应的，故对应的相关指数， 对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合精度更高、更可靠． 故对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益． （2）当时，后五组的，． 由最小二乘法可得， 故当投入20亿元时公司收益（直接收益＋国家补贴）的大小为， ，故投入17亿元比投入20亿元时收益小． 21．（1）当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数的单调递增区间为，，递减区间为； （2）， 因为函数恰有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根， 设为，且，因为函数 当时图象关于直线对称， 所以，即， 因为，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，分别是函数的极大值点和极小值点， 即，， 于是有，因为，所以， 所以，而， 所以 设，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 因此有，即． 22．（1）∵曲线的参数方程为（为参数）， ∴曲线的普通方䅔为． 根据，转化为极坐标方程为． （2）将（）代入，得，∴． 将（）代入， 得，解得或（舍）． ∴．∴． 23．（1）函数可表示为， 当时，由得， 当时，由得（舍去）， 当时，由得， 综上所述，不等式的解集为． （2）由（1）知在上单调递减，上单调递增，所以； 依题意可得 ∵在上单调递增，∴ ∴，即，∴的取值范围为．