【三维设计】高考数学 第六章第七节数学归纳法 理 A

第第六六章章不不等等式、式、推推理理与与证证明明第第七七节节数数学学归归纳纳法法(理理)抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么 了了解解数数学学归归纳纳法法的的原原理理，能能用用数数学学归归纳纳法法证证明明一一些些简单的数学命题简单的数学命题.怎怎 么么 考考1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列 有关的命题是高考命题的热点有关的命题是高考命题的热点2.题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的 逻辑推理能力，难度中、高档逻辑推理能力，难度中、高档.数学归纳法数学归纳法 证明一个与正整数证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：有关的命题，可按下列步骤：1(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n取取 时命题成立；时命题成立；2(归纳递推归纳递推)假设假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题成立，证明当 时命题也成立时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都成立都成立第一个值第一个值n0(n0N*)nk1答案：答案：B 解析：解析：n为偶数故假设为偶数故假设nk成立后，再证成立后，再证nk2时等式成立时等式成立答案：答案：D2用数学归纳法证明用数学归纳法证明“12222n22n3 1”，在验证，在验证n1时，左边计算所得的式子为时，左边计算所得的式子为 ()A1 B12C1222 D122223解析：解析：由由n1时，左时，左122223.答案：答案：D答案：答案：2k答案：答案：3解析：解析：第一步检验的第一个值第一步检验的第一个值n0应为应为3.数学归纳法的应用数学归纳法的应用(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着二步中，归纳假设起着“已知条件已知条件”的作用，在的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是关键是“一凑假设，二凑结论一凑假设，二凑结论”(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到到k1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误精析考题精析考题例例1求证：求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)自主解答自主解答当当n1时，等式左边时，等式左边2，右边，右边2，故等式，故等式成立；假设当成立；假设当nk时等式成立，时等式成立，即即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当那么当nk1时，时，左边左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，这就是说当，这就是说当nk1时等式也成立时等式也成立综上可知原等式对于任意正整数综上可知原等式对于任意正整数n都成立都成立巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)冲关锦囊冲关锦囊 用数学归纳法证明恒等式应注意用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值明确初始值n0的取值并验证的取值并验证nn0时等式成立时等式成立(2)由由nk证明证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变时，弄清左边增加的项，且明确变 形目标形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：掌握恒等变形常用的方法：因式分解；因式分解；添拆项；添拆项；配方法配方法.若若x1，x2，xn为正数，则为正数，则(1x1)(1x2)(1xn)1(x1x2xn)(n2，nN)(*)当当n2时，时，x10，x20，(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x21(x1x2)假设当假设当nk(k2)时，不等式成立，即若时，不等式成立，即若x1，x2，xk为正数，为正数，则则(1x1)(1x2)(1xk)1(x1x2xk)，冲关锦囊冲关锦囊1用数学归纳法证明与正整数用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围变量的取值范围2在证明由在证明由nk到到nk1成立时，一定要用归纳假设成立时，一定要用归纳假设nk时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式、分析法等可以用放缩法、基本不等式、分析法等.精析考题精析考题例例3(2012北京海淀模拟北京海淀模拟)数列数列an满足满足Sn2nan(nN*)(1)计算计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明用数学归纳法证明(1)中的猜想中的猜想巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)冲关锦囊冲关锦囊 解解“归纳归纳猜想猜想证明证明”题的关键环节题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论(3)用数学归纳法证明之用数学归纳法证明之解题样板解题样板 数学归纳法解答题的规范解数学归纳法解答题的规范解答答高手点拨高手点拨1解答本题时易忽略的步骤解答本题时易忽略的步骤(1)构造构造(x)后易忽略后易忽略(x)的单调性的判断尤其是其定义的单调性的判断尤其是其定义 域为域为(0，)易忽视易忽视(2)在推证在推证nk1时没有用上归纳假设时没有用上归纳假设2解答本题时易出现的错误解答本题时易出现的错误(1)不会由不会由f(an1)g(an)联想到联想到(1)h(x)的零点问题，造成的零点问题，造成 归纳猜想时不分类讨论归纳猜想时不分类讨论(2)分类讨论后，对于分类讨论后，对于M的探索不会表述为的探索不会表述为Mmaxx0，a，从而得不出正确的证明，从而得不出正确的证明点击此图进入点击此图进入