【创新方案】高考数学 第七章第七节 立体几何体中的向量方法 A

1若直线若直线l1，l2的方向向量分别为的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则，则 ()Al1l2Bl1l2Cl1与与l2相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不正确以上均不正确解析：解析：ab2(6)496(4)0，ab，从而，从而l1l2.答案：答案：B2已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为则两平面所成的二面角为 ()A45 B135C45或或135 D90答案：答案：C3正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线BC1与平面与平面A1BD所成角所成角的余弦值为的余弦值为_4如图，已知直三棱柱如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1 中，中，ACBC，D为为AB的中点，的中点，ACBCBB1.(1)求证：求证：BC1AB1；(2)求证：求证：BC1平面平面CA1D.证明：证明：如图，以如图，以C1点为原点，点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分所在直线分别为别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系设轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)1两个重要向量两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合或重合)的向量，的向量，一条直线的方向向量有一条直线的方向向量有 个个(2)平面的法向量平面的法向量直线直线l平面平面，取直线，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平的方向向量，则这个向量叫做平面面的法向量显然一个平面的法向量有的法向量显然一个平面的法向量有 个，它个，它们是共线向量们是共线向量无数无数无数无数2直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用置关系中的应用(1)直线直线l1的方向向量为的方向向量为u1(a1，b1，c1)，直线，直线l2的方向向的方向向量为量为u2(a2，b2，c2)如果如果l1l2，那么，那么u1u2u1u2a1a2，b1b2，c1c2；如果如果l1l2，那么，那么u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20.(2)直线直线l的方向向量为的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量为的法向量为n(a2，b2，c2)若若l，则，则unun0 .若若l，则，则unukn .(3)平面平面的法向量为的法向量为u1(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量为的法向量为u2(a2，b2，c2)若若，u1u2u1ku2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)；若若，则，则u1u2u1u20 .a1a2b1b2c1c20a1ka2，b1kb2，c1kc2a1a2b1b2c1c203利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角设设a、b分别是两异面直线分别是两异面直线l1、l2的方向向量，则的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线，直线l与与平面平面所成的角为所成的角为.则则sin|cosa，n|.考点一考点一利用空利用空间间向量向量证证明平行、垂直关系明平行、垂直关系 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四边形，在四边形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角的角(1)求证：求证：CM平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAD.如图，已知直三棱柱如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BAC90，且且ABAA1，D、E、F分别为分别为B1A、C1C、BC的中点的中点(1)求证：求证：DE平面平面ABC；(2)求证：求证：B1F平面平面AEF.(2010天津高考天津高考)如图，在长如图，在长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是棱棱BC，CC1上的点，上的点，CFAB2CE，AB AD AA11 2 4.(1)求异面直线求异面直线EF与与A1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)证明证明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦值的正弦值考点二考点二利用空利用空间间向量求空向量求空间间角角 (2010湖南高考湖南高考)如图所示，如图所示，在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E是是棱棱DD1的中点的中点(1)求直线求直线BE和平面和平面ABB1A1所成的角的正弦值；所成的角的正弦值；(2)在棱在棱C1D1上是否存在一点上是否存在一点F，使，使B1F平面平面A1BE？证明？证明你的结论你的结论考点三考点三利用空利用空间间向量解决存在性向量解决存在性问题问题如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD平面平面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MDNB1，E为为BC的中点的中点(1)求异面直线求异面直线NE与与AM所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在线段在线段AN上是否存在点上是否存在点S，使得，使得ES平面平面AMN？若存在，？若存在，求线段求线段AS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由 利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法它以代数运算代替复杂的空是高考对立体几何的常规考法它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型命题的热点题型2证明空间向量的平行、垂直的方法证明空间向量的平行、垂直的方法(1)证线线平行与垂直证线线平行与垂直若直线若直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2，则：，则：l1l2v1v2.l1l2v1v2v1v20.(2)证线面平行与垂直证线面平行与垂直若直线若直线l的方向向量为的方向向量为v，平面，平面的法向量为的法向量为n，则：，则：lvn.lvn.(3)证面面平行与垂直证面面平行与垂直若平面若平面和和的法向量分别为的法向量分别为n1，n2，则，则n1n2.n1n2.3利用空间向量求空间角的方法利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线若异面直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2，它们所成的，它们所成的角为角为，则，则cos|cosv1，v2|.(2)利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种办法：办法：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角成的角(3)利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二面角的平面角的大小；通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为量分别为n1和和n2，则二面角的大小等于，则二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)特别警示特别警示利用空间向量方法求二面角时，注意结合利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角图形判断二面角是锐角还是钝角1若直线若直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，能使，能使l的是的是 ()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：解析：若若l，则，则an0.而而A中中an2，B中中an156，C中中an1，只有，只有D选项中选项中an330.答案：答案：D2设平面设平面的法向量为的法向量为(1,2，2)，平面，平面的法向量为的法向量为 (2，4，k)，若，若，则，则k ()A2B4C4 D2答案：答案：C答案：答案：B答案：答案：45如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中，中，M和和N分别是分别是A1B1和和 BB1的中点，那么直线的中点，那么直线AM与与CN所成所成 角的余弦值为角的余弦值为_点击此图片进入课下冲关作业点击此图片进入课下冲关作业