高三数学一轮复习 第3章3.5三角函数的图像与性质 文 北师大

3.5三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考3.5三三角角函函数数的的图图像像与与性性质质双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1周期函数周期函数一般地，对于函数一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个，如果存在一个_实数实数T，使得当，使得当x取定义域内的每一个值时，取定义域内的每一个值时，_都成立，那么就把函数都成立，那么就把函数yf(x)叫叫作周期函数，不为零的实数作周期函数，不为零的实数T叫作这个函数的周期叫作这个函数的周期对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为一个最小的正数，就称它为_周期，今后周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的是指它的_非零非零f(xT)f(x)最小正最小正最小正周期最小正周期思考感悟思考感悟如果函数如果函数yf(x)的周期为的周期为T，那么函数，那么函数yf(x)的周期是多少？的周期是多少？2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质课课前前热热身身答案：答案：A答案：答案：B答案：答案：C4(教材习题改编教材习题改编)y1cosx，x0,2的图像的图像与与y0的交点的个数为的交点的个数为_答案：答案：15(原创题原创题)函数函数y|tanx|的单调增区间是的单调增区间是_考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一三角函数的定义域三角函数的定义域求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求三角函数的定义域时，转化为三角不等式组求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，求解，常常借助于三角函数的图像和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可以先求交集再加周期的整数倍即可【思路点拨思路点拨】先列出使函数有意义的不等式先列出使函数有意义的不等式(组组)，再结合函数的图像或三角函数线求解，再结合函数的图像或三角函数线求解例例例例1 11三角函数属于初等函数，因而前面学过的求三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉函数值域的一般方法，也适用于三角函数，但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即函数的有界性，即|sinx|1，|cosx|1对值域的对值域的影响影响2解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将解答此类题目首先应进行三角恒等变形，将函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据函数式化为只含一个三角函数式的形式，再根据定义域求解定义域求解考点二考点二三角函数的值域和最值三角函数的值域和最值【思路点拨思路点拨】先将原函数式进行恒等变形，再先将原函数式进行恒等变形，再化为一个角的三角函数或利用化为一个角的三角函数或利用|sinx|1，|cosx|1等求解等求解例例例例2 2【规律小结规律小结】求解涉及三角函数的值域求解涉及三角函数的值域(最值最值)的题目一般常用以下方法：的题目一般常用以下方法：(1)利用利用sinx、cosx的值域；的值域；(2)形式复杂的函数应化为形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的的形式逐步分析形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调的范围，根据正弦函数单调性写出性写出yAsin(x)的值域；的值域；(3)换元法：把换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化看作一个整体，可化为二次函数为二次函数考点三考点三三角函数的单调性三角函数的单调性【思路点拨思路点拨】利用复合函数的单调性规律利用复合函数的单调性规律“同同增异减增异减”求解求解例例例例3 3【误区警示误区警示】(1)单调区间是定义域的子区间，单调区间是定义域的子区间，因而应先求定义域因而应先求定义域(2)正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是正确分析复合函数的复合情况是解题关键也是易错点易错点考点四考点四三角函数的周期性和对称性三角函数的周期性和对称性 (1)(2010年高考陕西卷年高考陕西卷)函数函数f(x)2sinxcosx是是()A最小正周期为最小正周期为2的奇函数的奇函数B最小正周期为最小正周期为2的偶函数的偶函数C最小正周期为最小正周期为的奇函数的奇函数D最小正周期为最小正周期为偶函数偶函数例例例例4 4【答案答案】(1)C(2)A【名师点评名师点评】形如形如yf(x)的三角函数在的三角函数在求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，求解单调区间、周期、最值、对称性等问题时，往往把往往把x看作一个整体看作一个整体答案：答案：(1)(2)A方法技巧方法技巧1利用函数的有界性利用函数的有界性(1sin x1，1cos x1)，求三角函数的值域，求三角函数的值域(最值最值)(如例如例2(1)、(3)2利用函数的单调性求函数的值域或最值利用函数的单调性求函数的值域或最值(如如例例2(2)3利用换元法求复合函数的单调区间利用换元法求复合函数的单调区间(要注意要注意x系数的正负号系数的正负号)(如例如例3)方法感悟方法感悟1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域的基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨的基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响论参数对最值的影响2求三角函数的单调区间时，应先把函数式化求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如成形如yAsin(x)(0)的形式，再根据基的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出本三角函数的单调区间，求出x所在的区间应所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间不同：注意区分下列两题的单调增区间不同：失失误误防范防范考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一，三角函数的性质是每年高考必考的知识点之一，考查重点是三角函数的周期性、单调性、最值考查重点是三角函数的周期性、单调性、最值题型既有小题，又有解答题，难度中、低档近题型既有小题，又有解答题，难度中、低档近几年试题加强了与三角恒等变换交汇命题的考查，几年试题加强了与三角恒等变换交汇命题的考查，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧换的方法与技巧预测预测2012年高考仍将以三角函数周期性、单调性、年高考仍将以三角函数周期性、单调性、最值为主要考点，考查运算和恒等变形能力最值为主要考点，考查运算和恒等变形能力规规范解答范解答例例例例【名师点评名师点评】(1)本题易错点是：本题易错点是：不会化简不会化简f(x)，不知从何处入手；，不知从何处入手；三角变换公式不熟，三角变换公式不熟，不能逆用两角和不能逆用两角和(差差)的三角公式将的三角公式将f(x)，h(x)化为化为“一角一函数一角一函数”；记混正、余函数取得最值时的记混正、余函数取得最值时的x的集合，致使的集合，致使h(x)取得最大值时取得最大值时x的集合求错的集合求错(2)解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式，解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式，将其化为将其化为yAsin(x)h的形式，一般要求的形式，一般要求A0，0(当然这不是绝对的当然这不是绝对的)，然后根据，然后根据yAsin(x)h的性质解决问题对于函数的性质解决问题对于函数yAsin(x)(A0，0)的性质，完全可以令的性质，完全可以令zx，与函数，与函数ysin z的性质类比得到，解的性质类比得到，解决相应的问题决相应的问题名名师预测师预测