《加15套高考模拟卷》北京东城55中学2020届高三冲刺模拟数学试卷含解析

北京东城55中学2020届高三冲刺模拟数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21.已知直线y =2x +m与椭圆C：工+y 2=i相交于A,8两点，。为坐标原点.当AAO 8的面积取得5最大值时，卜（）5夜 7 15 2屈 3屈A.b B.2 F c.=D.=2.如图是2002年 8 月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作 周髀算经中有详细的记载.若图中大正方形ABCO的边长为5,小正方形的边长为2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷个点.有机个点落在中间的圆内，由此可估计）的近似值为（）25m 4m 4m 2 5 mA.4 B.C.25 D.n3.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）_ L 1 J _ 1A.2 B.3 c.4 D.54.已知等差数列/,q=2018,其前项和为S“，聚一盖=1，则 239=（）A.0 B.1 C.2018 D.20195.已知函数满足/（为寸一划，若函数 =,一以一5|与y =/（x）的图像的交点为（%，X）,（%,%），（/，%），且Zx，=2 a，贝!1。=（）/=1A.1 B.2 C.3 D.426.设曲线。是双曲线，则“。的方程为炉 一 2L =1，是“。的渐近线方程为y =2x ”的4A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等比数列t a/满足：a 1=4,Sn=p an+1+m（p 0）,则p-取最小值时，数 列l a/的通项公式为（）.3n-l _.m-1 71+1.nA.an=4 3 B.an=3 4 C.an=2 D.an=48.已知复数z=一,贝！j z 的虚部是（）1 +zA.2 B.2 c.2 D 29.如图，网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）4+473 口.4+2x/310.若圆锥曲线C：x 2+m y 2=l的离心率为2,则1=（）_ 坦 迈 1 1A.B.T C.3 D.311.若整数x,y 满足不等式组 2xy-10W 0 则 2 x+y 的最大值是g x+y-5拒 0A.11 B.23 C.26 D.3012.如图，平面四边形 ABCD 中，E,F 是 AD、BD 中点，AB=AD=CD=2,BD=2 也,ZBDC=9 0 ,将4 人 1）沿对角线15折起至4 4 8。，使平面4 3。J _平面B C D,则四面体ABC。中，下列结论不无确是（）CA.EF平面 ABCB.异面直线CD与 A B 所成的角为90500C.异面直线EF与7E所成的角为60（。-1）-500D.直 线 S-I）？与平面BCD所成的角为30。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。*上平T1 3.已知数列 中，4=1,S是数列 4 的前项和，且对任意的八/e N*,都 有 S,则1 4.已知a,是两个不同的平面，丸是两条不同的直线，有下列命题:若根，“平行于同一平面，则机与平行；若加 _ L a,n!a ,贝若必，不平行，则在a内不存在与平行的直线；若a P n,m i l n,则根/a且加/；若由，a l I p,则机与a 所成角等于与所成角.其中真命题有.（填写所有正确命题的编号）1 5.已 知 四=也|=2,a 与的夹角为60。，则+人在a 方向上的投影为 .1 6.已知函数/（）=211 n：和直线/：2x y +6=,若点尸是函数f （x）图象上的一点，则 点 到直线1的 距 离 的 最 小 值 为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）已知函数/印I,M 为不等式/（幻6 的解集.求集合加；若 a.bwM,求证：皿+ga+M._ 瓦+反+邑+%=a ,18.（12分）已知数列%是公差为2 的等差数列，数列 J满足乙=6,2 3 n 求 4，色的通项公式；求 数 列a 力”的前项和.19.（12分）已知函数K x）=l 2x-a l（a C R）.当a =4时，解不等式心）8x T I；若不等式K x）8+氏-11有解，求a的取值范围.20.（12分）如图，在三棱锥P-A B C 中，平面PA C L 平面ABC,A B =B C ,P A上P C点 E,F,0 分别为线段P A,PB,A C的中点，RB21.（12分）已知正项等比数列“a G是线段c o的中点.求证：F G II 平面 E B O .PA 工 BE.中，4=3,且一3a 2，/，4成等差数歹 .求数列 4 的通项公式；若=1。,-1-求数列h b的前项和22.(10 分)在 ABC 中，a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边，且 2in A=(2 +c)sin 8+(2c+)sin C求 A 的大小；求，出8+sin C 的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、二、ADCADAAAACDC填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13、2 一114、15、316、三、17、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(1)M=x|-l x 1.(2)见试题解析.【解析】分析：(1)利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围;(2)由(匕+1)2-3 +勿2=(。2一)3 2一),即可证得求证的不等式.详解：(1)/(x)=|3 x+l|+|3 x-l|6当x -q时，/(x)=-3x 1 3x+I=由一6九 1,-1 x ；当一时，/(x)=3x+1 3x+1 =2,2；时，/(x)=3x+l +3x-l =6x由6x 6解得x 1,；.；x 1综上，/(x)6 的解集M=x -l x l(2)(+1)2-a +by =a 2 b2 +2 a b+l-a2+b2+2 a b=八2_。2 _/+=(片_ )9 2_)由4,。6”得 同 1,例 1.。2_ 0力2一10.,.|t 7 Z?+l|a+t.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，着重考查了的转化为转化能力和计算能力，属于中档试题，对于绝对值不等式的解法有三种：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.18、(1)an=2 +2,6,”=1 门 2 一 1.(2)S=-2 n,n2 12(+1)【解析】【分析】（1）由4=6可得q =4,再根据等差数列的通项公式得到%=2+2；然后再由4+为+3+”=4+1得到4+号+3+2 2）,两式作差后可得2 3 n 2 3 一 16,7?=1 2/7 1“=c C.（2）当 2 2时根据裂项相消法求得5“=E,最后验证当n=1时也成立，于是2 n,n2 +可得所求结果.【详解】（1）依题意得伪=4=6,又数列 4 为公差为2的等差数列,所以4 4,所以 a”=4+2(-1)=2+2.因为乙+与+与+/”=4川2 3 n-n所以4+与+g=a”,(N 2),两式相减得：=。的一4=2,n2,所 以 2=2 ，n 2,又 a=6 不满足上式,所 以“=2(2)当2 2 时,1=1 1 1 anbtl(2H+2)(2H)4(+1)4 n H+1 J所 以 S =+a b2 a 3b34 x 6 4 1 2 34-4-1 If 1=-1-24 4 1 2 72+1)1 1一 +1 11、1 1 3-4,+1 1n +1 H-1-1-7-724 8(n +l)2 -l-12(n +l)*11又 当 =1 时，5,=港=以r五 满 足 上 式，c 2一1所 以 S =丽可 n G N【点 睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求 通 项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等.（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特 点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项.19、(1)(-1,y);(2)a 9 a -7.【解 析】【分 析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个方程组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得g（x）=l 2x-a l-l 2x-l I 最 大 值，再解不等式得结果.【详 解】(1)当a =4时,f(x)=l 2x-4l原不等式可化为：l 2x_4l +l x 11 8当x l时，4-2x+l-x -1A-1 x 1当 14x42时，4-2x+x-1 -5:.Kx 2 时，2x-4+x-1 8得 x y.八 13*2 x8有解，令g(x)=l2x-al-l2x-l IVl2x-al-|2x-l I 8解得：a 9或a 9或a -7.【点睛】本题考查绝对值定义解不等式以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.20、(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)连 AF交 BE于 Q,连 Q O,推导出Q 是 PAB的重心，从而FGQ O,由此能证明FG平面EBO.(2)推导出B O A C,从 而 BO_L面 PAC,进 而 BO_LPA,再求出OE_LPA,由此能证明PA_L平 面 EBO,利用线面垂直的性质可证PABE.【详解】(1)连接AF交 BE于 Q,连接QO,因为E,F 分别为边PA,PB的中点，所 以 Q 为APAB的重心，可得：普=2,QF又因为O 为线段A C 的中点，G 是线段CO的中点，.,AO所 以 而=2,工旦他 AOQ F O G 所以FGQO,因为FG1 1 1 ,1 n贝!1 1=-1-1-1-l-1 -.-4 2 2 3 n(+1)J (+1)4(+1)【点睛】本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.2 2、(I )1 2 0 ；(1 1)1.【解析】【分析】(I )由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得NA的大小；(I I)由题意结合(I )的结论和三角函数的性质可得sinB +sinC的最大值.【详解】(I)2 a sin A =(2 Z?+c)sin3+(2 c+Z?)sinC,.1.2a2=(2+c)/?+(2 c+Z?)c,gp a2=b2+c2+bc.cos A=b2+c2-a22hc=120.2(U)sin 3 +sin C =sin 8 +sin(6 0 -B)=c os 8 +g sin 8 =sin(6 0 +8),0 B 01.设x，y满足约束条件 ,八，且z=x +2)，的最小值为2,则。=()x-y+l 0,匕 0）的左右焦点分别为耳（一c,0）,6（c,0）,若直线y=2 x与双曲线的一个交点P的横坐标恰好为c,则双曲线的离心率为（）A.旧 B.2 C.五+1 D.亚-12 25.设耳，居是双曲线二-1=1（4 0力 0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若/6/有=9 0 ,a 3c=2,S”7M=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.5 B.4 C.6 D.36.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼 和 书 至少有一门被选出来的概率为（）_ 2 3 4A.5 B.5 C.5 D.57 .下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+8）上单调递减的函数为（）-2-1 A.k 1-B.k工 C.厂D.一x+y-3 0,8 .若平面区域 2 x-y-3