资源描述
2021-2022学年山西省晋中市榆次区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算a⋅a2的正确结果是( )
A. 2a2 B. 3a C. a2 D. a3
2. 春天是播种的季节，某村计划在河边开挖一条水渠把河中的河水引到水池O中进行蓄水以便在播种之前灌溉农田，(如图)为了使水渠最短应该在河边选择的引水口是( )
A. E点
B. F点
C. G点
D. H点
3. 下列运算结果正确的是( )
A. a3+a3=a6
B. a2⋅a3=a6
C. (ab4)3=a3b12
D. a3÷a=a3
4. 如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当∠1增大4°时，下列说法正确的是( )
A. ∠2增大4° B. ∠3增大4° C. ∠4增大4° D. ∠4减小2°
5. 北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度为10纳秒，1纳秒为1秒的十亿分之一，用科学记数法表示其授时精度为( )
A. 1×10−7秒 B. 1×10−8秒 C. 10×10−9秒 D. 1×10−9秒
6. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A. (x+2)(2+x) B. (x+y)(−x−y) C. (2x+y)(y−2x) D. (2x−y)(x+2y)
7. 如图，下列条件中，能判断直线l1//l2的是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠3+∠4=180° D. ∠1=∠3
8. 如图1，从边长为(a+5)cm的大正方形纸片中剪去一个边长为(a+2)cm的小正方形，剩余部分(如图2)沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形(无缝隙不重合)则该长方形的面积为( )
A. 9cm2 B. (6a−9)cm2 C. (6a+9)cm2 D. (6a+21)cm2
9. 一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米．下面能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(厘米)与点燃时间t(时)的关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 海拔高度h(千米)与此高度处气温t(℃)之间有下面的关系：
海拔高度h/千米
0
1
2
3
4
5
…
气温t/℃
20
14
8
2
−4
−10
…
下列说法错误的是( )
A. 其中h是自变量，t是因变量
B. 海拔越高，气温越低
C. 气温t与海拔高度h的关系式为t=20−5h
D. 当海拔高度为8千米时，其气温是−28℃
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 已知一个长方形的面积为a2b−a，长为a，则它的宽为______．
12. 已知圆锥的底面半径是2cm，那么圆锥的体积V(cm3)与高h(cm)的关系式是______ ．
13. 若am=3，an=6，则a2n−m=______．
14. 一个角的余角比它的补角的13多12°，则这个角为______．
15. 如图，两个正方形的边长分别为a，b(a>b)，若a+b=10，ab=6，则阴影部分的面积为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. 综合与实践
【问题情境】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．
【初步探究】
(1)如图1，AB//CD//EF，当∠1=60°，∠3=140°时，试求∠2的大小；
【深入探究】
(2)经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是______；
A.∠1+∠2=∠3
B.∠3+∠2−∠1=90°
C.∠1+∠3−∠2=180°
D.∠3+∠2=2∠1
【拓展应用】
(3)如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1=75°，第三次的拐角∠3=135°，则第二次的拐角∠2=______．
四、解答题（本大题共7小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1)(−3−1)×(−12)−3−20；
(2)13ab2⋅15(ab)2−(−a2b3)2÷ab2．
18. (本小题6.0分)
下面是小李同学数学计算本上一道题的解答过程．请认真阅读并完成相应任务．
(x−2y)2−x(x−2y+1)
=x2−4xy+4y2−x(x−2y+1)…第一步
=x2−4xy+4y2−x2+2xy…第二步
=4y2−2xy…第三步．
任务一：第一步的计算过程中用到的乘法公式是______；
任务二：第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务三：请直接写出该题的正确运算结果：______；
任务四：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式乘法运算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
19. (本小题5.0分)
如图，已知∠BDG+∠GHE=180°，∠DHF=∠GHE，试说明：DE//BC．
请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：因为∠BDG+∠DHF=180°，∠DHF=∠GHE ______，
所以∠BDG+∠DHF=180°．
所以AB//EF ______．
所以∠ADE=∠DEF ______．
又因为∠DEF=∠B，
所以DE//BC ______．
20. (本小题6.0分)
据统计，某公交车每月的支出费用为3000元，每月利润(利润=票款收入−支出费用)(元)与每月的乘车人数(人)的变化关系如下表所示(公交车票价固定不变)．
每月的乘车人数/人
600
900
1200
1500
1800
…
每月利润/元
−1800
−1200
−600
0
600
…
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)观察表中数据可知，每月乘车人数达到______人以上时，该公交车才不会亏损；
(3)由表中数据可推断出该公交车的票价为______元；
(4)求每月乘车人数为5000人时的每月利润．
21. (本小题6.0分)
如图，AB//CD．
(1)尺规作图：过点B作直线a//AC(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若∠ACD=110°，点E是直线a上的一点(不与点B重合)，则∠ABE=______°.
22. (本小题7.0分)
2022年3月23日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明在周末从家骑自行车到晋中市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离(m)与离家的时间(min)的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到晋中市科技馆的距离是______m；
(2)小明等待红绿灯所用的时间为______min；
(3)图中点C表示的意义是______；
(4)小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？，最快速度是______m/min．
(5)小明在整个途中，共行驶了______m.
23. (本小题7.0分)
阅读与思考
请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下：
观察下列各式：152=225，252=625，352=1225，…
个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？
小丽的思考如下：
假设个位数字是5的两位数的十位数字为a，则这个两位数可以表示为10a+5，这个两位数的平方为(10a+5)2=①，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②．
任务一：补全上面小丽的解答过程：①______；②______．
任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关．
①请直接写出：752=______；
②请用代数式表示小丽发现的这一规律：______．
任务三：类比小丽的探索思路，观察：4×6，14×16，24×26，……的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原式=a1+2
=a3，
故选：D．
根据同底数幂的乘法运算法则进行计算便可．
本题考查了同底数幂的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由垂线段最短，得
四条路段OE，OF，OG，OH，如图所示，其中最短的一条路线是OF，
所以为了使水渠最短应该在河边选择的引水口是F点，
故选：B．
根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故B不符合题意；
C、(ab4)3=a3b12，故C符合题意；
D、a3÷a=a2，故D不符合题意；
故选：C．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得，∠1=∠3，∠1+∠4=180°，∠2=∠4．
A.当∠1增大4°时，由∠1+∠4=180°，∠2=∠4，那么∠2减少4°，故A不符合题意．
B.当∠1增大4°时，∠1=∠3，那么∠3增大4°，那么B符合题意．
C.当∠1增大4°时，由∠1+∠4=180°，那么∠4减少4°，故C不符合题意．
D.当∠1增大4°时，由∠1+∠4=180°，那么∠4减少4°，故D不符合题意．
故选：B．
根据对顶角、邻补角的定义解决此题．
本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角、邻补角的定义是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：10纳秒=10×10−9秒=1×10−8秒．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：A、(x+2)(2+x)=(x+2)2，不能用平方公式计算，故A不符合题意．
B、(x+y)(−x−y)=−(x+y)2，不能用平方公式计算，故B不符合题意．
C、(2x+y)(y−2x)=y2−(2x)2，故C符合题意．
D、(2x−y)(x+2y)不能用平方差公式，故D不符合题意．
故选：C．
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．(a+b)(a−b)=a2−b2．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】解：A、根据∠1=∠2能判断直线a//b，不能判断直
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