高二寒假讲义7 空间向量与立体几何（理） （教师专用）

高中数学寒假讲义 寒假精练7 空间向量与立体几何 典题温故 1．四棱锥中，底面为直角梯形，，， ，平面，，为中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）在直角梯形中，，， 在中，由余弦定理可得， 又，，且，是等腰三角形， 所以，，由线面垂直的判定定理，得平面， 又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面． （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 有，，， 令平面的法向量为，由，可得一个， 由（1）可知平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为． 2．已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，为线段上一点，且平面和平面所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）连接，由题意知， ∴四边形是菱形，∴， 又∵，，∴平面，则， ∵，∴， 又∵，∴平面，∴平面平面． （2）以点为原点，，所在直线分别为轴，轴，平面上过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设点的坐标为，∵，，∴，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即为平面的一个法向量． 易知，平面的一个法向量为， ∴，解得或（舍去）， ∴的坐标为，为上靠近点的四等分点，故． 经典集训 一、选择题 1．已知，则下列向量中与平行的是（ ） A． B． C． D． 2．已知三角形的三个顶点，，，则过的中线长为（ ） A． B． C． D． 3．若平面的法向量分别为，，则（ ） A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确 4．已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角为（ ） A． B． C． D． 6．如图，正方体中，是棱的中心，是棱上的点， 且，则直线与所成的角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 8．在长方体中，下列计算结果一定不等于的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知向量，，则在方向上的投影为 ． 10．在棱长为的正方体中，为的中点，则到面的距离为 ． 三、简答题 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且平面平面． （1）求证，； （2）求二面角的余弦值． 12．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面， 且，点，分别是和的中点． （1）求证平面； （2）求二面角的余弦值． 13．已知三棱柱中三个侧面均为矩形，底面为等腰直角三角形，，点为棱的中点，点在棱上运动． （1）求证：； （2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为， 求点到平面的距离． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】∵，∴故选B． 2．【答案】B 【解析】∵，，∴边中点的坐标是， 又∵，∴过点点的中线长． 3．【答案】C 【解析】∵与不平行，∴与不平行； ∵，∴与不垂直，故选C． 4．【答案】C 【解析】由，且点在直线上， 可设，则， 又，∴，即，解得，∴． 5．【答案】A 【解析】由题意，空间向量，平面的一个法向量为， 所以根据空间向量的夹角公式，可得， ∴，则直线与平面所成角． 6．【答案】D 【解析】以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，，，， ，， ． 7．【答案】A 【解析】取的中点，连接，以为轴，以为轴，以过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得，，∴， 而，，∴，， 设平面的法向量为，根据，， 解得，， 故与平面所成角的大小为． 8．【答案】D 【解析】如图，以为原点，分别为，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 设长方体的长宽高分别为，，，则，，，，，，， ∴，，，，，， ∴，当时，，； 当时，，，． 故选D． 二、填空题 9．【答案】 【解析】依题意在方向上的投影为． 10．【答案】 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ∴到面的距离． 三、简答题 11．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）连，交于点，连， 由平面平面，平面平面， 又，∴，∴平面， 又平面，∴， 又，∴，∴，又，∴平面，平面，∴． （2）由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知面，则轴， 由平面几何知识易得，， 则，，，， 于是，，， 设平面的法向量为，则，， 即，∴，取，则，则， 同理可得平面的一个向量为， 于是， 分析知二角面的余弦值为． 12．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）如图，取的中点，连结，， 则，，∴平面平面，∴平面． （2）连接，交于点，以为坐标原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则， ∴，，，，， 得，， 设平面的法向量为，则，得， 同理可得平面的法向量为， ∴，∴二面角的余弦值为． 13．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，其中，所以，， 因为，所以，即． （2）由（1）可知，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，∴． 设为平面的一个法向量， 则，即，∴． 由二面角的平面角的余弦值为， 得，解得或． 易知当时，二面角的平面角为钝角，与题意不符，故， ∴，∴点到平面的距离为． 更多微信扫上方二维码码获取