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2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破常考题型11 抛物线的标准方程及最值问题
1.抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
2.抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
考法一：求抛物线的标准方程
1.定义法和待定系数法
若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.
2.3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应先确定抛物线方程属于哪种类型；
(2)注意抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离.
考法二：利用抛物线的定义解最值问题
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
探究一：求抛物线的标准方程
已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
思路分析：
根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程，与C的方程联立，结合关系求解作答。
【变式练习】
1．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
探究二：利用抛物线的定义解最值问题
已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
思路分析：
由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果。
【变式练习】
1．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
一、单选题
1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
5．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．2
6．直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A． B． C． D．3
8．已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形 B．
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
10．已知抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A． B．为线段的中点
C． D．
12．已知点是抛物线C：上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为 B．C的准线方程为
C． D．的最小值为
三、填空题
13．与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．
14．设抛物线的焦点弦被焦点分为长是的两部分，请写出一个必然满足的恒等式______．
15．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.
16．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．
四、解答题
17．已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过点F2的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
18．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．
(1)求p的值；
(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．
19．已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，求直线AB的方程.
20．已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
常考题型11 抛物线的标准方程及最值问题
1.抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
2.抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
考法一：求抛物线的标准方程
1.定义法和待定系数法
若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.
2.3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应先确定抛物线方程属于哪种类型；
(2)注意抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离.
考法二：利用抛物线的定义解最值问题
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
探究一：求抛物线的标准方程
已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
思路分析：
根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程，与C的方程联立，结合关系求解作答。
【解析】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得：，设，
于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，
即有，则，解得，因此，解得，
所以直线l的方程为：，即.
故选：D
【答案】D
【变式练习】
1．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，
∵，两点都在抛物线上，∴，
即，即，解得或，
又，∴,
故选:A
2．已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】解：根据题意，，可得，
所以双曲线的渐近线方程为，
抛物线的准线方程为，
设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，
同理，
所以，解得.
故选：D．
探究二：利用抛物线的定义解最值问题
已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
思路分析：
由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果。
【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
【答案】C
【变式练习】
1．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：C.
2．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，
设圆心C到直线距离为d，，
当时，，
故选：D．
一、单选题
1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的顶点为，焦点为，
设符合题意，则有
，
即，解得，
所以符合条件的点为，
故选：D
2．我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案
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