资源描述
2023年中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,等边△AOB的边长为6,点C在边OA上,点D在边AB上,且OC=3BD,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点C和点D,则k的值为( )
A. B. C. D.
2.已知x2+mx+25是完全平方式,则m的值为( )
A.10 B.±10 C.20 D.±20
3.已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一,二,四象限,那么直线y=bx-a一定不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.这个数是( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数
5.若点P(﹣3,y1)和点Q(﹣1,y2)在正比例函数y=﹣k2x(k≠0)图象上,则y1与y2的大小关系为( )
A.y1>y2 B.y1≥y2 C.y1<y2 D.y1≤y2
6.下列说法:
① ;
②数轴上的点与实数成一一对应关系;
③﹣2是的平方根;
④任何实数不是有理数就是无理数;
⑤两个无理数的和还是无理数;
⑥无理数都是无限小数,
其中正确的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.如图,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束. 设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是
A.① B.④ C.②或④ D.①或③
8.已知二次函数y=x2 + bx +c 的图象与x轴相交于A、B两点,其顶点为P,若S△APB=1,则b与c满足的关系是( )
A.b2 -4c +1=0 B.b2 -4c -1=0 C.b2 -4c +4 =0 D.b2 -4c -4=0
9.若a与﹣3互为倒数,则a=( )
A.3 B.﹣3 C. D.-
10.关于反比例函数y=,下列说法中错误的是( )
A.它的图象是双曲线
B.它的图象在第一、三象限
C.y的值随x的值增大而减小
D.若点(a,b)在它的图象上,则点(b,a)也在它的图象上
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为_____.
12.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为____________海里/时.
13.把多项式9x3﹣x分解因式的结果是_____.
14.计算:2sin245°﹣tan45°=______.
15.若反比例函数y=的图象与一次函数y=x+k的图象有一个交点为(m,﹣4),则这个反比例函数的表达式为_____.
16.每一层三角形的个数与层数的关系如图所示,则第2019层的三角形个数为_____.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)如图,直角坐标系中,直线与反比例函数的图象交于A,B两点,已知A点的纵坐标是2.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)将直线沿x轴向右平移6个单位后,与反比例函数在第二象限内交于点C.动点P在y轴正半轴上运动,当线段PA与线段PC之差达到最大时,求点P的坐标.
18.(8分)探究:
在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次若参加聚会的人数为3,则共握手 次:;若参加聚会的人数为5,则共握手 次;若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手 次;若参加聚会的人共握手28次,请求出参加聚会的人数.
拓展:
嘉嘉给琪琪出题:
“若线段AB上共有m个点(含端点A,B),线段总数为30,求m的值.”
琪琪的思考:“在这个问题上,线段总数不可能为30”
琪琪的思考对吗?为什么?
19.(8分)解不等式组:
20.(8分)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A(2,3),B(6,n)两点.分别求出一次函数与反比例函数的解析式;求△OAB的面积.
21.(8分)先化简,再求值:(x﹣3)÷(﹣1),其中x=﹣1.
22.(10分)((1)计算:;
(2)先化简,再求值:
,其中a=.
23.(12分)观察下列等式:
①1×5+4=32;
②2×6+4=42;
③3×7+4=52;
…
(1)按照上面的规律,写出第⑥个等式:_____;
(2)模仿上面的方法,写出下面等式的左边:_____=502;
(3)按照上面的规律,写出第n个等式,并证明其成立.
24.如图,是的外接圆,是的直径,过圆心的直线于,交于,是的切线,为切点,连接,.
(1)求证:直线为的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的长.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、A
【解析】
试题分析:过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,如图所示.
设BD=a,则OC=3a.
∵△AOB为边长为1的等边三角形,∴∠COE=∠DBF=10°,OB=1.
在Rt△COE中,∠COE=10°,∠CEO=90°,OC=3a,∴∠OCE=30°,∴OE=a,CE= = a,∴点C(a, a).
同理,可求出点D的坐标为(1﹣a,a).
∵反比例函数(k≠0)的图象恰好经过点C和点D,∴k=a×a=(1﹣a)×a,∴a=,k=.故选A.
2、B
【解析】
根据完全平方式的特点求解:a2±2ab+b2.
【详解】
∵x2+mx+25是完全平方式,
∴m=±10,
故选B.
【点睛】
本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方,尾平方,首尾积的两倍在中央,这里首末两项是x和1的平方,那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍.
3、D
【解析】
根据直线y=ax+b(a≠0)经过第一,二,四象限,可以判断a、b的正负,从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限,不经过哪个象限,本题得以解决.
【详解】
∵直线y=ax+b(a≠0)经过第一,二,四象限,
∴a<0,b>0,
∴直线y=bx-a经过第一、二、三象限,不经过第四象限,
故选D.
【点睛】
本题考查一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
4、D
【解析】
由于圆周率π是一个无限不循环的小数,由此即可求解.
【详解】
解:实数π是一个无限不循环的小数.所以是无理数.
故选D.
【点睛】
本题主要考查无理数的概念,π是常见的一种无理数的形式,比较简单.
5、A
【解析】
分别将点P(﹣3,y1)和点Q(﹣1,y2)代入正比例函数y=﹣k2x,求出y1与y2的值比较大小即可.
【详解】
∵点P(﹣3,y1)和点Q(﹣1,y2)在正比例函数y=﹣k2x(k≠0)图象上,
∴y1=﹣k2×(-3)=3k2,
y2=﹣k2×(-1)=k2,
∵k≠0,
∴y1>y2.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了正比例函数,解题的关键是熟练的掌握正比例函数的知识点.
6、C
【解析】
根据平方根,数轴,有理数的分类逐一分析即可.
【详解】
①∵,∴是错误的;
②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确;
③∵=4,故-2是 的平方根,故说法正确;
④任何实数不是有理数就是无理数,故说法正确;
⑤两个无理数的和还是无理数,如 和 是错误的;
⑥无理数都是无限小数,故说法正确;
故正确的是②③④⑥共4个;
故选C.
【点睛】
本题考查了有理数的分类,数轴及平方根的概念,有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数,分数可以化为有限小数或无限循环小数;无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数,如 等,也有π这样的数.
7、D
【解析】
分两种情形讨论当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①,由此即可解决问题.
【详解】
解:当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①.
故选D.
8、D
【解析】
抛物线的顶点坐标为P(−,),设A 、B两点的坐标为A(,0)、B(,0)则AB=,根据根与系数的关系把AB的长度用b、c表示,而S△APB=1,然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.
【详解】
解:∵,
∴AB==,
∵若S△APB=1
∴S△APB=×AB× =1,
∴−××,
∴,
设=s,
则,
故s=2,
∴=2,
∴.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识,综合性比较强.
9、D
【解析】
试题分析:根据乘积是1的两个数互为倒数,可得3a=1,
∴a=,
故选C.
考点:倒数.
10、C
【解析】
根据反比例函数y=的图象上点的坐标特征,以及该函数的图象的性质进行分析、解答.
【详解】
A.反比例函数的图像是双曲线,正确;
B.k=2>0,图象位于一、三象限,正确;
C.在每一象限内,y的值随x的增大而减小,错误;
D.∵ab=ba,∴若点(a,b)在它的图像上,则点(b,a)也在它的图像上,故正确.
故选C.
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质.注意:反比例函数的增减性只指在同一象限内.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、1
【解析】
分析:设方程的另一个根为m,根据两根之和等于-,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.
详解:设方程的另一个根为m,
根据题意得:1+m=3,
解得:m=1.
故答案为1.
点睛:本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于-是解题的关键.
12、
【解析】
设该船行驶的速度为x海里/时,由已知可得BC=3x,AQ⊥BC,∠BAQ=60°,∠CAQ=45°,AB=80海里,在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ,再在直角三角形AQC中求出CQ,得出BC=40+40=3x,解方程即可.
【详解】
如图所示:
该船行驶的速度为x海里/时,
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,
由题意得:AB=80海里,BC=3x海里,
在直角三角形ABQ中,∠BAQ=60°,
∴∠B=90°−60°=30°,
∴AQ=AB=40,BQ=AQ=40,
在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,
∴CQ=AQ=40,
∴BC=40+40=3x,
解得:x=.
即该船行驶的速度为海里/时;
故答案为:.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形,熟练掌握方向角是解题的关键.
13、x(3x+1)(3x﹣1)
【解析】
提取公因式分解多项式,再根据平方差公式分解因式,从而得到答案.
【详解】
9x3-x=x(9x2-1)=x(3x+1)(3x-1),故答案为x(3x+1)(3x-1).
【点睛】
本题主要考查了因式分解以及平方差公式,解本题的要点在于熟知多项式分解因式的相关方法.
14、0
【解析】
原式==0,
故答案为0.
15、y=﹣.
【解析】
把交点坐标代入两个解析式组成方程组,解方程组求得k,即可求得反比例函数的解析式.
【详解】
解:∵反比例函数y=的图象与一次函数y=x+k的图象有一个交点为(m,﹣4),
∴,
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