（教师版）新人教A版高中数学基础知识手册

3/106 【必修一】【必修一】第一章第一章 集合集合与常用逻辑用语与常用逻辑用语 一、一、元素与集合的概念元素与集合的概念 1元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母 a，b，c，表示 2集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母 A，B，C，表示 3集合相等：指构成两个集合的元素是一样的 4集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的 二、元素与集合的关系元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a 属于集合 A aA“a 属于 A”不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A aA“a 不属于 A”三、三、常用数集及表示符号常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或 N Z Q R 四、四、集合的表示集合的表示 1、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法 2、描述法 一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为xA|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法 4/106 五、五、子集、真子集、集合相等子集、真子集、集合相等 1子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 是集合 B的子集 AB(或 BA)真子集 如果集合 AB，但存在元素 xB，且 xA，就称集合 A 是集合 B 的真子集 AB(或 BA)集合相等 如果集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等 AB 2Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图 3子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA.(2)对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC.六、六、空集空集 1定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为.2规定：空集是任何集合的子集 七、集合的基本运算七、集合的基本运算 1 1、并集并集 集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,记作AUB(读作“A并B”)即=BA 可用 Venn 图表示为 2、交集交集 集合 A 与 B 的交集是由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合,记作 AB(读作“A 交 B”)即=BA,|BxAxx且 可用Venn图表示为,|BxAxx或 5/106 3 3、全集与补集全集与补集 全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作 U.补集 自然语言 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作UA 符号语言 UAx|xU 且 xA 图形语言 八、八、充分条件与必要条件充分条件与必要条件 “若 p，则 q”为真命题“若 p，则 q”为假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 九、九、充要条件充要条件 1如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 pq，又有 qp，就记作 pq，此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件 2如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件概括地说，如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件 十、十、全称量词和存在量词全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”“存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”6/106 十一、十一、含量词的命题的否定含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题xM，p(x)xM，p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题xM，p(x)xM，p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题 7/106 第二第二章章 一元二次函数，方程和不等式一元二次函数，方程和不等式 2.12.1 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 一不等式的概念 用数学符号“”“”“”“”“”、连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式 二符号“”“”和的含义 如果,a b是两个实数，那么ab，即为abab=或；ab，即为abab=或.三比较实数,a b大小的依据 1.文字叙述：如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab=；如果ab是负数，那么ab，反过来也对 2.符号表示：0abab；0ab=ab=；0ab ab.要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小.四.等式的基本性质 1.1:,.abba=性质 如果那么 2.2:,.ab bcac=性质如果那么 3.3:,.abacbc=性质如果那么 4.4:,.abacbc=性质如果那么 5.5:,0,.abab ccc=性质如果那么 五.不等式的性质 性质 1（对称性）：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即.abba 性质 2（传递性）：如果abbc，那么.ac即.abbcac，性质 3（加法法则：）如果ab，那么.acbc+推论 1：(移项法则)不等式中任何一项都可以改变符号后移到不等号的另一边 性质 4（乘法法则）：如果,0,ab c那么;acbc如果,0,ab c那么.acbc 性质 5：如果,.ab cd，那么.acbd+一般结论：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向 性质 6：如果00,abcd，那么.acbd 一般结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向 性质 7：如果0ab，那么.nnab(nN，n1)8/106 倒数法则：0abab已知，如果，那么11.ab；ab如果，那么11.ab 2.22.2 基本不等式基本不等式 一.算术平均数与几何平均数 00abab若，则，的算术平均数为2ab，几何平均数为.ab 二.基本不等式2abab，(1)基本不等式成立的条件：00ab，；(2)等号成立的条件：当且仅当ab=时取等号 三.基本不等式可叙述为：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.四.几个重要的不等式 2222222,2,0(),2(),22abab a bRbaababababa bRababa bR+当且仅当ab=时取等号.五利用基本不等式求最值问题 00 xy已知，(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy=时，和xy+有最小值2 P.(简记：积定和最小)(2)如果和xy+等于定值S，那么当且仅当xy=时，积xy有最大值24S.(简记：和定积最大)2.32.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 一.一元一次不等式（组）bkxy+=0k 0k 0b 0b 0b 0b 图象 0+bkx|bx xk|bx xk|bx xk|bx xk 0+bkx|bx xk|bx xk|bx xk|bx xk 9/106 二.一元二次不等式（组）220001(0)0.函数的零点：二次函数三.三个二次的，若，则称 为函数的零关系点yaxbxc aaxbxcx=+=22(0).yaxbxc a=+.二次函数的零点 2(0).yaxbxc ax=+二次函数的图象与 轴交点的横坐标 20(0)axbxca+=方程的实数解.2()0(0).axbxca+不等式的解集的端点值 四.分式不等式的解法 解题口诀：移项通分除化乘，注意分母不为零.（1 1）()0()()0.()f xf x g xg x；（2）()()0()0.()0()f x g xf xg xg x 解题步骤：（1）首项系数化为正；（2）移项通分，不等号右侧化为 0 0；（3）因式分解，化为几个一次因式乘积的形式；（4）数轴标根。五.绝对值不等式的解法 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a=2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，就是数轴上表示它的点到原点的距离 (1)|()|()()()()()f xg xf xg xf xg x 或；(2)|()|()()()()f xg xg xf xg x；(3)22|()|()|()()f xg xf xg x.六.一元高次不等式的解法：穿针引线法 解题步骤：（1）最高次项系数化为正；（2）数轴顺序标根；（3）右上角起线；（4）奇穿偶回（奇穿偶不穿）.acb42=0 0=0 二次函数 cbxaxy+=2)0(a的图象 一元二次方程 02=+cbxax)0(a的根 有两个不相等的实根1212xxxx，且 有两个相等的实数根12x x=没有实数根 一元二次不等式的解集)0(02+acbxax 12|x xxxx或 1 2|x xx，R )0(02+acbxax 12|x xxx 10/106 第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 一、一、函数的概念函数的概念 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作：(),yf x xA=.其中：x叫做自变量，x的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必须同时具备)考点一：定义域的求法考点一：定义域的求法 一已知函数解析式型一已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域 求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负.（3）对数中的真数部分大于 0.（4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 （5）tanyx=中2xk+等.(6)0 x中x0 例例 1：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域（1）31xyx+=；（；（2）2245xyxx=；（；（3）22axyxx=(0a).解析：（1）31xyx+=3010 xx+解得：31x 或1x 所以函数31xyx+=的定义域为 3,1)(1,)+；故答案为：3,1)(1,)+.（2）2245xyxx=24050245xxxx 解得：23x或35x 11/106 所以函数2245xyxx=的定义域为2,3)(3,5；故答案为：2,3)(3,5.（3）22axyxx=(0a).2200axxx 解得：0ax 所以函数22axyxx=(0a)的定义域为,0)a；故答案为：,0)a.二、抽象函数型二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况.（一）（一）已知)(xf的定义域，求)(xgf的定义域.其解法是：已知)(xf的定