(含2套高考模拟题）高中数学第三章数系的扩充与复数311实数系31 实数系

3.1.1实数系3.1.2复数的概念（建议用时：45分钟）学业达标一、选择题1.一（2一4。的虚部是（）A.-2 B.-C.7 2D.2【解析】V-（2-V 2i）=-2+V 2i,.其虚部是【答案】C2.如果C,R,/分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则（）A.C=R UZ B.R UZ=0C.R=cn 7 D.R n/=0【解析】复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集.R C/=。，故选D.【答案】D3.若 x i-i 2=y+2i,x,y G R,则复数*+力=（）【导学号：05 41006 1A.-2+i B.2+iC.l-2i D.l+2i【解析】由1=-1,得x i 1=1+方，则由题意得l+x i=y+2i,根据复数相等的充要条件得x=2,y=l,故x+yi=2+i.【答案】B4.下列命题中，正确命题的个数是（）若x,y C,则x+yi =l +i的充要条件是x=y=l；若 4 6 R 且 a b,则 a+ib+i；若 x+y =0,则 x=y=0.A.0B.1C.2 D.3【解析】对于，由 于 必y e c,所 以 必y不一定是x+yi的实部和虚部，故是假命题；对于，由于两个虚数不能比较大小，故是假命题;是假命题，如 V+i 2=0,但 IW O,i W O.【答案】A5.复 数 i 2 的虚部是（）A.i B.-2C.1 D.2【解析】i 2=-2+i,因此虚部是1.【答案】C二、填空题6 .设i 为虚数单位，若复数名=（/+2/3）+（/I）i 是纯虚数,则实数/=.+2/3=0,【解析】依题意有 解得勿=-3.1 WO,【答案】-37 .以 3i 一镜的虚部为实部，以 3+i 的 实 部 为 虚 部 的 复 数 是.【解析】3i 艰的虚部为3,3i 2+*i =-3+*i的实部为一3,所以所求的复数是3-3i.【答案】3-3i8 .有下列说法：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1 a i （a 6 R）是一个复数；纯虚数的平方不小于0；一1 的平方根只有一个，即为一i；i 是 方 程 1=0 的一个根；是一个无理数.其中正确的有 _（填序号）.【解析】若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故正确；若虚部不相等,则两个复数一定不相等，故正确；因满足形如a+历（a,6 W R）的数均为复数，故正确；纯虚数的平方，如 i 2=-l,故错误；一1 的平方根不止一个，因为（土i）z=-l,故错误；成立，故正确；虫是虚数，而且是纯虚数，故错误.综上，正确.【答案】三、解答题9 .已知复数z=（/+3/+2）+（疡/z/6）i,则当实数m为何值时，复数z（1）是实数；（2）是虚数：（3）是纯虚数.【解】z=(7 Z 72+3zz/+2)+(初 2一 加 一6)i.(1)令/一/一6=0=m=3 或勿=2,即加=3 或加=2 时，z 为实数.(2)令君一/6 W 0,解得wW2 且/W 3,所以勿W2 且勿W 3时，z 是虚数.m 3m+2=0,由，-解得加=1,m 勿 一 6W0,所以m=一 1 时，z 是纯虚数.1 0.已知 材=1,（序一2加+（病+加-2）i,P=1,4 i ,若 J/UP=P,求实数 m的值.【解】:根P=P,：.厄P,即2 +（而+/z?2）i=-1 或（切24+（/+而一2）i=4 i.由（m2/n）+（加 之 +/一2）i=-1,/m-2/n=-l,得+/一2=0,解得/=1 ；由（/2/ri）+（m+m-2）i=4 i,m2m=0,得4/+加一2=4,解得勿=2.综上可知，0=1 或%=2.能力提升1.若复数z=(sin J|)+(c o s 夕一上)是纯虚数，则 tan(的值为(1A.-7 B.-C.7D.-7 或-3【解析】,复数/是纯虚数，）sin 0-=0,54cos e 三#0,.sin45-夕Acos 0=-.5/.tan（tan 8-11+tan 03一 L-丁=一 7,故选 A.1 4【答案】A2.已知关于x的方程V+(勿+2i)x+2+2i=0(勿 R)有实根，且z=/+i,则复数z=()A.3+i B.3-iC.3 i D.3+i【解析】由题意，知)?+(?+2i)/?+2+2i =0,即 力+力+2+(2+2)i =0,所以n+7 7 7/7+2=0,2+2=0,解得m=3,=-1,所以z=3-i.【答案】B3.设复数z=三+5+2 R 15）i为实数，则实数 加 的 值 是,【导学号：05 41006 2【解析】依题意有情+2-15=0,/+5#0,解得7 7 7=3.【答案】34.如果 l o g Jz?+)一(3/)i 1,求自然数勿，的值.2【解】因 为l o g l（勿+）一（加23%）i 1,所 以l o g l（勿+）一（布一3 6 i是实数，从而2 2病-3%=0,l o g m+n 1,由得/7 7=0或勿=3,当加=0时，代入得0,所以=1；当m=3时，代入得水一 1,与是自然数矛盾.综上可得，7 7 7=0,=1.2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 a,b,c 为正数，则“a+bc是“后+/。2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不修要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：a,b,c,为正数，当a=2,b=2,c=3 时，满足a+b c,但/+/?c?不成立，即充分性不成立，若。2+2。2,贝!)(“+力 并 24。92,即(“+力 2 c?+为,即J(a+力2 拒，即。+c,成立，即必要性成立，则“a+8。”是“/+/。2”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键.2.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共 有()A.72 种 B.144 种 C.288 种 D.360 种【答案】B【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有&=1 2 种排法；第二步将数学和物理插入前4 科除最后位置外的4 个空挡中的2 个，有&=1 2 种排法，所以不同的排表方法共有1 2 x 1 2 =1 4 4 种.选瓦【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题43.己知i 是虚数单位，则复数()(1-)A.2i B.-2 z C.2 D.-2【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算求解即可.【详解】4 4 2i-T =7 =2 .(1-z)2-2 z -i2故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.4.在复平面内，必 复 数(i 为虚数单位)的共扼复数对应的点位于()I-zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】将复数化简得z=l +2/,z=l-2 i,即可得到对应的点为(1,2)，即可得出结果.【详解】z =N=?+?+?=l +2 i n -2 i,对应的点位于第四象限.1-z (l-z)(l +z)故选:Z）.【点 睛】本题考查复数的四则运算，考查共甄复数和复数与平面内点的对应，难度容易.5.已 知 双 曲 线1一 号=130,。0）的 焦 点 为 ,月，且。上 点P满 足。耳/月=0,a b|P|=3,PF2=4,则 双 曲 线C的离心率为A.B.75 C.-D.52 2【答 案】D【解 析】【分 析】根据双曲线定义可以直接求出。，利用勾股定理可以求出C,最后求出离心率.【详 解】依题意得，2a=PF2-PF=,用|=。而+|/耳=5,因此该双曲线的离=5.【点 睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.6.点。为“5C的三条中线的交点，且。4_LO3,AB=2,则的值为（）A.4【答 案】B【解 析】【分 析】B.8C.6D.12可画出图形，根据条件可得2AC-BC3AO2BC-AC=3BO,从 而 可 解 出，AC2AO+BOBC=2BO+AO然后根据OA_LOB,A3=2进行数量积的运算即可求出ACBC=（2AO+BC（2BO+AO）=8.【详 解】如 图：A点。为ABC的三条中线的交点AO=-(AB+AC)=-(2AC-BC),BO=-(BA+BC)=-(IBC-AC)3 3 3 32AC-BC3AO,AC2A0+B0二由 可得：，2BC-AC=3BO BC=2BO+AO又因 04 _L 0 5,A3=2,2 2 2AC BC=(2AO+BO)(2BO+AO)=2AO+2BO=2AB=8故选：B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.7.已知斜率为k的直线1与抛物线C：V=4 x交于A,B两点，线段AB的中点为M(l,z)(加0),贝！|斜率k的取值范围是()A.(-,1)B.(-,1 C.(l,+oo)D.1,+()得2-k2 2k b O,:.kb 0）,4一2妨。4 c+=丁=2,2%公 拄k2tn=,km 0,：.k 0,把 人=土2-2k2 代 入 幼 1,得2-公,故 选：C【点 睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.8.已 知 命 题P：VX GR,%2-X+1 2X,则下列命题中为真命 题 的 是（)A.。人qB.-P Mc.p j q【答 案】B【解 析】【分 析】根 据/0,可 知 命 题。的真假，然 后 对x取 值，可 得 命 题4的真假，最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题：可知 =（T）2 _ 4 0故命题P为假命题命 题q：取x=3,可知3 2 23所以 Ix e R,2故命题4为真命题所以力人9为真命题故选：B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.9.圆锥底面半径为迷，高为2,S A是一条母线，P点是底面圆周上一点，则P点到S A所在直线的距离的最大值是（）A.B.C.3 D.43 3【答案】C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解/，的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为石，高为2,S 4是一条母线，尸点是底面圆周上一点，P在底面的射影为。；S 4 =，彳=3，O A SO,过S A的轴截面如图：Z A S Q 90,过。作Q T _ L S A于T,则QTl=(A B2+8 C 2+PA2)=L(4 2+5 2+7 2)=竺，所以外接球的表面、2 J 4 4 21 45积 S=4 万 =4 乃 x =90 万,2【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图,找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.12.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作 一 个 边 长 为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投 掷200个 点，己 知 恰 有80个 点 落 在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）C.10【答 案】D【解 析】【分 析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【详 解】根据几何概型：。=可=1用，故s=y.故 选：D.【点 睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填 空 题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分。3x-y-6 013.设 满 足 约 束 条 件 0,8 （）的最大值为x 0,y 012,则2 +3的 最 小 值 为.a b25【答 案】6【解 析】【分