新概念测量学(中卷)

新概念测量学（中）史锦顺2005第6章 计时与测频的新概念1计时的物理公式与测量公式时间这个物理量，基本又重要。关于时间测量，不仅该贯彻区分测得值法则，重新表达测量公式，还要考察其物理公式，重新表达物理公式本身。1.1 时间概念时间概念包括时刻和时间间隔这两个概念。时间间隔又常简称为时间。这样，时间便有广义狭义两种含义。狭义时间概念指时间间隔；广义时间泛指时刻与时间间隔。时间坐标上的点是时.刻，点间距离是时间间隔。火车站的“旅客列车时刻表”，时刻一词很准确；学校的作息时间表，时间则是广义时间概念，包括时刻和时间间隔。时钟是时间的标度装置。时钟的示值是时刻的标记。时刻是客观物理量，时刻的标记就是时刻的测得值。时刻的标记反映时刻，二者又不完全相同（各钟的示值不同）。时间间隔的测量结果称时间的测得值。为了讨论计时公式，即时间的测量公式，我们引入两个用语及其符号：其对应关系为：时刻测得值L对应时刻t i ；时间间隔测得值t w 对应时间间隔t （时间间隔符号t 上无脚标）。1.2 时间间隔的物理公式时间的测量又称作计时。分析一下人们的计时工具钟表，分析一下人类计时依据的地球自转与公转，特别是分析一下现代计时工具石英钟与原子钟，可知计时的基本方式是计相。时钟刻度的本质是相位。相位代表时刻，相位差代表时间间隔。人们以周期性物质运动来量度与表征时一间。若周期运动的频率恒定，其公式为：。（。=2 型+虑（6.1）相 位 差 -九 与 f 成正比。人们正是利用这一点来计时的。对（6.1）式这个人们熟知的公式，两 处 f 的含义，要分辨一下。0 是，时刻的即时相位值，因 而 0 中的，是时刻；而 2 /，中的，是计相开始到计相结束所用的时间，是时间间隔。相位项2 是r 时间间隔内相位的变化量。这种自选时间坐标系，以计时开始时刻为0点，时间间隔与时刻值简并，用起来方便，但其含义不能混淆。为使表达明确，在时刻，上加序号，表示某事件对应的时刻。以 h表示某次测量的开始时亥J,而以女表示该次测量的结束时刻。几）=如）+2型记武）=。（，2）-。（，1）/）=2/时间间隔的物理公式:式中相位差W（力 中 的f是时间间隔。/是钟的实际运行频率。当频率/不是恒定值时,这里的/是运行频率的平均值，称平均频率。1.3 时间间隔的测量公式新计时公式（一）以人，表示时间间隔的测得值，时间间隔的测量公式为：/(f)式中另是钟的标称频率值，wm（r）是相位差的测得值。时间间隔的测得值函数,一 一G）,厂酝1.4 关于时刻公式设时刻,对应初始的o事件，时刻。对应终结的i事件，有）+2型2球 2可时刻的物理公式为：记为 的测得值，。为%的测得值，九时间间隔测得值，则有:时刻的测量公式-新计时公式（二）忆小）乙叭。着2时差公式的推导2.1时间间隔的测量偏差A小 量 法比较时间间隔的测量公式与物理公式，得测得值函数的相对形式为：V =匕 血 （6.7）变量：时间测得值，八相位差测得值”、钟频率实际值/,将这三量展成定量加小量:t +A-_ M）+A心（M+V）t 武 沆1+气=1+恻“（理（1+刈和 用+第（6.8）为求相对的频差与绝对的相差的作用，（6.8）式可表为：%=份匕”）+=，%+1 济（6 9）B微 分 法对测得值函数（6.4）微分力”品 用+错 用 （6-1 0）得到：V焉 小 卜）嚅内 口）第=恻 阳+牙（6.1 2）微分法相对时差的比较标准是时间的测得值（被 除）。测得值的偏差同测得值比，这便于计算；小量法相对时差的比较标准是客观时间（即标准钟记出的时间），物理意义清楚。2.2计 时（时刻标记，时刻的测得值）的偏差将（6.6）式 同（6.5）式 相 比 较（取二者之差），有（6.1 3）式表示，计时偏差等于初始时差加时间间隔的测量偏差。(6.1 3)2.3特例：计算石英晶体钟的计时差设晶体钟的初始频率为老化率为。，初始频差为4/，则其频率随时间的值为f f,l+f+Dfnt（6.1 4）晶体钟对时间间隔的测得值：%=占？兀 ）于 出=t+g D/2毋“2胡“：J *Jo 2时刻测得值：A/,1 -2t 广+十 t+3Dt-（6.1 5）Jo 乙标准时为：。=%+，计时差为&=4如+加+（6.1 6）Jo L第一项为初始时差，第二项为初始频差作用，第三项为老化率作用。式（6.1 6）表明，准确的时钟必须满足三个条件：频率要极稳定，漂移率（。）要极小；要调准频率；要调准初始时刻。3采样频率与时频关系3.1采样频率的定义频率是周期运动快慢程度的表征，是单位时间的周期运动的次数。类似速度分即时速度和平均速度，频率也有即时频率和平均频率。即时频率定义为相位的变化率除以2n：八 八2%dt 实际测到的频率都是一段时间的平均频率：/j/C （6 1 8）A J-A取得一个频率值的时间称采样时间。采样频率是指定采样时间的平均频率。记采样时间为T ,采样频率为：（6.1 9）t-l上世纪中叶，阿仑提出采样频率概念。这是时频界一件大事。尽管同时提出的阿仑方差有问题，但提出采样频率概念意义很大。频率稳定度、频率准确度的表征都要标明采样时一间，都是对特定采样时间而言的。频率测量的采样概念的提出与普及，澄清了许多混乱与争议，一时同行学人颇有拨散迷雾之感。3.2采样频率的几个关系定 理 一采样频率由采样时间首尾二时刻的相位确定，与采样时间内频率如何变化无关。证明由 式（6.1 9）与 式（6.1 7）/*）=/J 1）一 如 一 叫 （6.2 0）证毕。推 理 一般来说，不能由采样频率求出即时频率。频率瞬时特性描述的程度，由最小采样时间限定。定理二 以采样时间T小均匀且连续采样，当T大等于N倍T小时，诸T小 采样频率的平均值等于T大采样频率：（之儿7小）=/。，联）（6.2 1）/V /=1证明T 7 /匕，小）=（-曲）一也-?小）+7 -加一7 小）一 儿 一 2?小）+.N i=i N 271T小 2 小+-的 一（N 1）7小）一 如 一 NT小）=:如）-儿 一 7大）=/匕 大）2 小2加V c小（6.2 1）式得证。推理均匀且足够密的某一采样时间的诸采样频率的平均值，近似等于另一采样时间的采样频率，后一采样时间等于前各采样时间及间隔时间的总合。下面论述时频正比关系。时间与频率的关系如何？我们可不能随便说时间与频率成反比”。搞研究最忌人云亦云,某些书上的说法对不对，我们该考究一下。二量比例关系的讨论前提是二量的特定的联系条件。一般来说，时间是时间，频率是频率，二者并没有必然的联系。例如原子频标的特点与优点是其频率不随时间变化，即原子频标的频率与时间无关。我们讨论计时问题，着眼点是时钟。时钟计时的基础是其稳定的频率源。时钟把计时量与钟频率联系起来，下面证明，计时量(人们认识到的时间)与钟频率成正比。定 理 三 计时量与钟规一频率成正比。证明计准相位值，即不考虑相位本身的测量误差，有Wm(t)=W(t),测得值函数变为：t w=?=vt(6.22)J n式 中V是钟频率的实际值与钟频率的标称值之比，称钟规一频率。时 钟1:(6.23)时钟2：t Iff 2.=v2t/ZJ n2故有：(6.24)(6.25)定理得证。特例 加=加，则有:t yl f l(6.26)这是在比较时钟或计算钟偏差时常见的情况。此时，计时量与钟频率成正比，计时量是人们认识到的时间，简单的说，就 是“时频正比”。3.3比相测频公式的推导将时间的测得值与客观时间区分，可以方便地推出比相测频公式。测准相位值，即不考虑相位本身的测量误差，有见”=/，测得值函数变为:=)L t=f =KfW fn(6.27)比对时钟时，对同一客观时间t,各钟测得结果不同，计时量即人们认识的时间，与钟频率实际值成正比。对(6.27)式求微分并写成差分形式，则有老一丝f h(6.28)这是著名的比相测频公式。此式常有人推错。在本文新计时公式提出后，此公式的推导异常简单。此公式的通常表达形式为:_ A Tf T需知，此 处7是总计时量，而 是 计 时 差；(2 8)式可减少误解。(6.29)4频率日老化率公式正解4.1晶振日老化率公式的推导先推导一般直线数据拟合公式。设函数为:Y=A+KX(6.30)对 应X测得值为Yi作函数:N2Q=Z(%A_K X,)/=1(6.31)令有NZ 2亿一 A-KXj=0/=1N2(匕-A-KX,)X=0三1(6.32)(6.33)整理N NN A-KZX,=O(6.34)N N NZ X j AXjK ZX；=Oi-i-i-取自变量的对称形式：X j =r.(6.35)(6.36)其中必有1 NN白 NZx,.=oi=l联立方程简化为N=NAr=!N N名 次 句K 一，）2=0/=!Z=1解（6.37）（6.38）的联立方程式并将匕换成力，得Ni=Ni=l1 NA =Q力7V；=1（6.39）式是严格推导的频率随时间的漂移率的公式。4.2现行晶振日老化率公式的问题及纠正现行检定规程中晶振老化率计算公式为:吃”)-应i=l(6.37)(6.38)(6.39)(6.40)(6.41)式中:f o 频率的标称值;n 每日的测量次数;N -取样个数；力 一取样时序，用自然数列表示；Z-。时刻测得的被测晶振频率实际值。评论(1)公式(6.41)不是按物理内容推导的结果，公式中的n以及规程中另外4个公式中的2,是凭某种理解加进去的。实际上，也好，2也好，都包含在力中。(2%是时间变量，是有量纲的量。它包含自然顺序数与时间间隔这两个部分，说它是时刻的序号，是自然数列，是不正确的。(3)老化率是单位时间的变化量，老化率表达式中，必须有r-1的量纲，规程上的公式抹煞了这一点。下面给出正确表达。推导出的基本公式(3 9)表成相对形式为：N1=1(6.42)(6.43)i为自然顺序数，T为采样周期。一天测一次，T=ld,半天测一次，T=0.5d将(6.43)式代入(6.42)式,有NE7,0-)N等5a(6.44)式中:(6.45)一般取7=0.5日，代入(44)式NK _ 1=1 /量纲是物理公式的基本要素，当然也是测量公式的基本要素。量纲正误是判别公式正误f-f的基本依据之一。计算 很麻烦，其实并无必要。直接用测得值即可。4.3关于晶振老化率的评定方法就前些年我国晶振生产水平而言，按老化率公式算出的老化率，常有夸张现象。由于存在频率波动，计得值比实际值偏高。建议在老化率评定时加上限制条件，即老化率的给出值不能优于波动量的均方根值。笔者画过几百条晶振的7周天频率曲线图。无非是在一条直线上叠加一条波浪线。大体上说，直线的斜率表征晶体的老化，波浪线的起伏程度表征恒温槽的控温水平。线性变化与波动性都需要表征。我国特有的 日波动（每小时测一次，测24小时，得25个值，取最大值与最小值之差为测得值，这样做，问题甚多：取最大最小，犯统计学大忌；只测一天，无统计意义；需值夜班，讨人烦。现介绍一下笔者在工程计量中采用的老化率与波动性综合处理方法。依常规测出7周 天15个数据。按最小二乘法拟合一条直线。直线斜率是日老化率计算值。将各数据与拟合线上对应点的值作差，取这些差值的均方根值为波动量。当波动量小于日老化率计算值时，日老化率计算值有效；当波动量大于日老化率计算值时，以波动量的相对值评定日老化率水平。附注：依上述方案，计算机BASIC程序如单（可大大简化）。10LPRINT*Aging rate,20 INPUT No30LPRINT No;No40INPUT N50 DIM D(N),L(N),X(N)60LET A=070LET B=080 FOR 1=1 TO N90READ D(I)100LET Z=0110 LET A=A+D(I)120LET B=B+(I-(N+1)/2)*D 130NEXT I140 LET E=(N-1)*N*(N+1)/12150LET K=B/E160LET M=A/N170 LPRINT180FOR 1=1 TO N190LET L(I)=M+K*(I-(N+l)/2)200 L