第6章数列第一节等差数列、等比数列的概念及求和

第六章 数列第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第一部分三年高考体题荟萃2010年高考题一、选择题1.(2 0 1 0浙 江 理)(3)设S “为等比数列&的前项和，8 4+%=，则 邑=(A)1 1 (B)5(C)-8(D)-1 1解析：通过8a 2+%=0，设公比为4，将该式转化为8a 2 +%/=0，解得q=-2,带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.(2 0 1 0全国卷2理)(4).如果等差数列 4“中，/+%+%=1 2,另陷。+。2+.“+%=(A)1 4(B)2 1 (C)2 8(D)35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】%+%+“5=3%=1 2,%=4,，+4 +-%)=7%=2 83.(2 0 1 0辽宁文)(3)设S “为等比数列“的前”项和，已知3s 3=%-2,3s 2=%2,则公比q =(A)3(B)4(C)5(D)6【答案】B解析：选 B.两式相减得，3a3-a4-a3,aA=4a3,.q=4.%4.(2 0 1 0辽宁理)(6)设 a“是有正数组成的等比数列，S“为其前n项和。已知a曲=1,S3=7,则S 5(A)T(B)7(C)7 (D)y【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a 2 a,=1 可得a；/=1,因此又因为S 3=q(l +q +/)=7,联力两式有q 一1 1 1 ”(J)3 1(-+3)(一一2)=0,所以 q=二 所 以 臬=-T2=，故选 B。q q 2 i-1 425.(2 0 1 0 全国卷2 文)(6)如果等差数列 ,中，a3+a4+a5=1 2,那么4 +42+/=(A)1 4(B)2 1 (C)2 8(D)35【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。.%+/+%=1 2,.&=4%+。2+.一 +。7=卜 7、&+%)=7%=2 86.(2 0 1 0 安 徽 文)(5)设数列 4 的前n项和S“=2,则%的值为(A)1 5(B)1 6(C)49 (D)64【答案】A【解析】=S 8-7=6 4-4 9 =1 5.【方法技巧】直接根据凡=5“-5,1(2 2)即可得出结论.7.(2 0 1 0 浙 江 文)(5)设s“为等比数列 4 的前 项和，8 4+%=0则 邑=(A)-l l (B)-8(0 5(D)l l解析：通过8a 2+%=0,设公比为7,将该式转化为8a 2+勺/=，解得0=-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式8.(2 0 1 0 重庆理)(1)在等比数列 4 中，%)1 0=8。2 0 0 7，则公比q的值为A.2 B.3 C.4 D.8【答案】A解析：2 =q 3=8 .4=2a 20079.（2 0 1 0 广东理）4.已知 J为等比数列，S是它的前项和。若。2，%=2%,且。4与2%的等差中项为9,则$5=74 5A.35 B.33 C.31 D.2 9【答案】C解析：设 4 的公比为q,则由等比数列的性质知，%=%.%=2%，即=2。由%与 2%的等差中项为知，为+2%=2x，即为=（2x3 4）=，（2 x 工2）=L1-21-87-4a-a3-6q=即-218-X=3-al1 0.（2 0 1 0 广东文）4.已知数列瓦 为等比数列，尺 是 它 的 前 项 和.若%且4与2a.的等差中项为:，则邑=A.35 B.33 C.31 D.29 a?a：=Q=24 +2qg2=2x：n 2 +4qJ=；=l,a=_1.=2_=162,1 V 1y16(1-i 1故：5$=-=32(1-)=32-1=3 1.选 C,】，271 1.（2 0 1 0 山东理）（9）设 aj是等比数列，则“汽 欠%”是数列&是递噌数列的（A）充分而不必要条件 必要而不充分条件、（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条化【答案】C【解析】若已知a i a 2 a 3，则设数列 aj的公比为q,因为a ia 2 l,且a】。，所以数列 aj是递增数列；反之，若数列 aj是递噌数列，则公比q l且a O,所以a1a1q a1q2）即21%嵇，所以a j a?a?是数列 a j是递噌数列的充分必要条件.【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题.1 2.（2 0 1 0重 庆 文）（2）在 等 差 数 列 “中，6+%=10,则%的值为（A）5（B）6（C）8（D）1 0【答 案】A解 析：由角标性质得q+%=2%，所 以%=5二、填空题1.（2 0 1 0辽 宁 文）（1 4）设5为 等 差 数 列 J的 前 项 和，若S 3=3,56=24,则 o 3 x 2.1，=3ci,H-O-d=3 ch=-11解 析：填1 5.，解 得 0）的图像在点（a ,a Z）处的 切 线 与x轴 交 点 的 横 坐 标 为&为正整数，&=16,则a,+a?+a k解析：考查函数的切线方程、数列的通项。在点（&,a 力处的切线方程为：y a/=2 4（x%）,当 y=0 时，解得犬=今，所以+=,6+%+%=16+4+1 =2 1。三、解答题1.（2010上海文）21.（本题满分14分）本题共有2 个小题，第一个小题满分6 分，第 2 个小题满分8分。已知数列 4“的前项和为S“，且 S”=5%-8 5,n e N*（1）证明：4 1 是等比数列；（2）求数列 S,的通项公式，并求出使得5 向 S,成立的最小正整数.解析：当/?=1 时，=-14；当2 时，a,尸 S-S,-i=-5 a +5 a”_ i+l,所以%-1=2（a“_ 1 -1）,6又 a i-l=-15 0,所以数列 a,7 是等比数列；（2）由 知:%-1 =-15.11）,得,=1 15.0,从而S“=7 5.()+n-9 0(/7 e N*);由 SQS”得 窗 l o g5 +l 14.9,最小正整数 m l 5.2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）已知 a.是公差不为零的等差数列，4=1,且，a,曲成等比数列.（I）求数列 a,的通项；（H）求数列 2打 的前项和S,.解（I ）由题设知公差后0,由团=1,团，金,成等比数列得 匕 网 =!,1 1 +2J解 得 d=l,d=0（舍去），故 4 的通项由=1+（-1）X 1=/?.（I I）由（I ）知2/=2,由等比数列前n 项和公式得 高考学习网S N+22+2、+2=世 匚 2 =2 -2.1-23.（2010全国卷2 文）（18）本 小题满分12分）已知%是各项均为正数的等比数列，且 i +2=2(-),%+%+5 =64(I-1)q a2 a3 a4 a5(I )求%的通项公式；(II)设b=(%+)2,求数列 的前项和7；。a”【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。(1)设出公比根据条件列出关于与 的方程求得“与“，可求得数列的通项公式。(2)由(1)中求得数列通项公式，可求出B N 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。4.(2010江西理)2 2.(本小题满分14分)证明以下命题：(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b c),使得f Cz成等差数列。(2)存 在 无 穷 多 个 互 不 相 似 的 三 角 形 其 边 长。c,为正整数且仆2,“q,2成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。(1)考虑到结构要证/+0 2=2/，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值F,5 2,7 2满足等差数列，只 需 取 b=5 a,c=7 a,对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证 明:当 a；,b；c；成等差数列,则叶一-分解得：依 +a,)(bn-a)=(c+bn)(cn-b“)选取关于n的一个多项式，4(“2 1)做两种途径的分解4n(?2-1)=(2-2)(2/+2)=(2?2-2n)(2n+2)4n(n2-1)an=n2-2n-i对比目标式，构造 4）,由第一问结论得，等差数列成立,Cn+2一1考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m,n,若 m,n相似：则三边对应成比例m2-2m-_ m2+1n2-2 7 1 -1 n2+1m2+2 m-1n2+2-1由比例的性质得：竺二!=S=7=，与约定不同的值矛盾，故互不相似。n -1 n +15.（2 0 1 0安徽文）（2 1）（本小题满分1 3分）设CC2,G,，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y =I t相切，对卷一个正整数，圆G都与圆GE相互外切，以4表示G的半径，已知匕,为递增数列.（I）证明：为等比数列：（II）设 外=1,求数列 巴 的前n项和.r.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设C“的圆心为（4,0）,得 儿=2，同理得2+1=2rn+l,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 匕中与 乙的关系，证明/为等比数列；（2）利 用（1）的结论求匕的通项公式，代入数列巴，然后用错位和减法求和.解：(1)将直线丫=辛搁角记为，则有t a n =0*,s i n 6 =g,设的圆心为(,Q),则由题意得知,4=2 rn4+i =2 向，从而4/斜以Z,/+rn+l2 rl i+i 4=2 r 解得Li =3 rn故恂今比的等悻数列。(P I由于,4也，吸面，rn=3n-=n*3,-n记S n=+2+.+工则有ri r2 r“Sn=1 +2*3-1+3*3 +.*3 S寸=1*3-|+2*3 +(-1)*3 +*3 f，得9 QS-=1 +3-1+3-2+.+3 f-*3一”31-3-3 3=(“+-)*3-,22 239 1 3.-.S=-(+-)*3 -n 4 2 29一(2 +3)*3 4【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，井结合图形，得出关于数列相邻项。“与。,用之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和S“乘以公比，然后错位相减解决.6.(2 0 1 0重 庆 文)(1 6)(本小题满分1 3分，(I )小问6分，(I I )小问7分.)已知 凡 是首项为1 9,公差为-2的等差数列，Sn为 凡 的前 项和.(I )求通项4及S“；(II)设 2-4是首项为1,公比为3的等比数列，求数列 2的通项公式及其前项和 却解：(I)因为评 是 首 项 为%=19,公差d=-2的等差数列.所以 a.=19-2(n-1)=-2*21.S,=I9n+一 (-2)-s+20/i.(D )由题意 b-3-,所以 A=3-2n+21.T.=5.+1+3+3)-n:+20n+3,；.27.(2 0 1 0浙江文)(1 9)(本题满分1 4分)设a”d为实数，首项为a“公差为d的等差数列 aj的前n项和为S,”满足S 5 s6 +1 5=0。(I )若S s=5,求$6及如；(II)求d的取值范围。I)网:M S.=j-s-3.s)4 S X -S,N -8.解得“，7,所以 S.=-3 9al s 7.（U）解：因为yS.l=O.所以 叫|02.?8.（2 0 1 0北京文）（1 6）（本小题共1 3分）已知I。为等差数列，且的=-6,6=0。（I ）求1/1的通项公式；（H）若等差数列|勿|满足伉=8,b2=a,+a2+a3,求1 2 1的前n项和公式解：（I ）设等差数列 4的公差1。因为%=6,40所以6 i I