资源描述
文科数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中是偶函数，且在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题：；命题：若则．下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，则
A． B． C． D．
5．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间为（ ）
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
2
3
4
5
6
A． B． C． D．
6．若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
12．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.
14．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
15．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
16．已知函数，设，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________.
三、解答题
17．求下列函数的导数．
（1）；
（2）
18．函数（且）在区间上的最大值为8，求它在这个区间上的最小值．
19．某口罩生产厂家目前月生产口罩总数为100万，因新冠疫情的需求，拟按照每月增长率为扩大生产规模，试解答下面的问题：
（1）写出第月该厂家生产的口罩数（万只）与月数(个）的函数关系式；
（2）计算第10个月该厂家月生产的口罩数（精确到0.1万）；
（3）计算第几月该厂家月生产的口罩数超过120万只（精确到1月）
（参考数据）：
20．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
21．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
.22．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围
参考答案
1．C
【分析】
先求集合P，Q，再求两集合的交集即可
【详解】
由题意得，
所以．
故选：C
2．A
【分析】
根据奇偶性定义及单调性定义判断．
【详解】
A选项是偶函数且在为增；B选项不是偶函数；
C选项是偶函数，但是在不恒为增函数；
D选项不是偶函数，
故选:A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性定义是解题关键．
3．D
【分析】
先判断命题的真假，再逐个分析判断即可
【详解】
解：因为，所以命题为真命题，则为假命题
因为当时，，所以命题为假命题，则为真命题，
所以为真命题，
故选：D
4．B
【分析】
运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】
则．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
5．B
【分析】
令，利用零点存在定理可得出合适的选项.
【详解】
令，由表格中的数据可得:
，，，，，
由零点存在定理可知，方程的一根所在的区间为.
故选：B.
6．A
【分析】
由条件可得，然后可算出答案.
【详解】
由是偶函数，可的，，所以，
故选：.
7．D
【分析】
设，根据指数和对数的关系及对数的运算计算可得；
【详解】
解：由题设可得，，
又由于a，b，c都是正数，所以，，.
因为，，.
因为，所以，
故选：D.
8．B
【分析】
利用指数函数的基本性质求出各选项中函数的值域，由此可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，，则且，所以，函数的值域为；
对于B选项，，所以，函数的值域为；
对于C选项，，则函数的值域为；
对于D选项，，则，又，即，则，
所以，函数的值域为.
故选：B.
9．B
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
10．D
【分析】
利用复合函数的单调性，即可计算结果.
【详解】
根据复合函数的单调性可知，若函数在区间上单调递增，
需满足，解得：.
故选：D
11．B
【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
12．C
【详解】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
13．
【分析】
根据奇偶性，先计算，再计算
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以.
因为当时，
所以.
故答案为
【点睛】
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.
14．
【分析】
函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案
【详解】
函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
15．
【分析】
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
16．
【分析】
将问题转化为方程有两个不相等的实数根，在同一坐标系中画出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
因为方程有两个不相等的实数根，
所以方程有两个不相等的实数根，
在同一坐标系中画出函数的图象，
如图所示：
由图象知：，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
根据导数的运算法则分别计算即可.
【详解】
（1）；
（2）
；
（3）；
(4)，
．
18．
【分析】
令，将函数化为，分和两种情况讨论在区间上的最大值，进而求，再求出最小值.
【详解】
令，函数化为，对称轴为，开口向上，
当时，则，利用二次函数性质知，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，即，解得，
此时函数的最小值为；
当时，则，利用二次函数性质知，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，即，解得，
此时函数的最小值为，
综上可知，函数的最小值为.
故答案为：
【点晴】
方法点睛：本题主要考查了函数的最值问题，涉及到指数函数的图象与性质，二次函数的性质及应用本题的解答中换元后，灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键，考查学生分类讨论思想，及转化与化归思想的考查，属于中档题.
19．（1）；（2）112.7万只；（3）16个月.
【分析】
（1）每月增长率为指数式,依据实际条件列出解析式即可；（2）第10个月为时，带入计算可得结果；（3）根据参考数据带入数值计算.
【详解】
解: （1）因为每月增长率为,所以第月该厂家生产的口罩数,.
（2）第10个月该厂家月生产的口罩数万只.
（3）是增函数,
当时, ,
当时, ,
所以当时,即第16个月该厂家月生产的口罩数超过120万只.
20．（1）；；（2）.
【分析】
（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】
（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为.
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
21．（1）或；（2）.
【分析】
（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.
【详解】
（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
22．（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】
（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
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