《等差数列的前n项和(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章 数列 1.2.2 等差数列的前n项和(2) ◆ 教学目标 1.进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式，并会求前n项和Sn的最值； 2.经历公式应用的过程，进一步理解公式中的几个基本量代表的实际意义； 3.通过等差数列前n项和公式的应用，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养. ◆ 教学重难点 ◆ 重点：灵活运用等差数列的前n项和公式解决问题． 难点：求前n项和Sn的最值． ◆ 教学过程 一、新课导入 回顾：能否说出我们上节课学习的等差数列的前n项和公式？ Sn=na1+an2，Sn=na1+n(n-1)d2. 注意：公式中五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“知三求二”． 问题1：如何选用这两个公式能使运算过程更简便呢？ 答案：已知首项a1、项数n、末项an，选用公式Sn=na1+an2. 已知首项a1、公差d、项数n，选用公式Sn=na1+n(n-1)d2. 练一练：若a1=12，d=-16， Sn=-5，求n的值. 分析：已知a1，d，Sn，选用公式Sn=na1+n(n-1)d2. 解：由Sn=na1+n(n-12d=12n+n(n-12×(-16)=-5， 得n=12，或n=-5（舍）. 设计意图：通过回顾等差数列的求和公式并进行两个求和公式的比较，让给学生进一步熟悉上节课所学内容，为本节课作准备． 二、新知探究 问题2：在数列an中，an=2n+3，如何求出这个数列从第100项到第200项的和S的值？ 追问1：该数列是否为特殊的数列？ 答案：是等差数列(an是关于n的一次函数) 追问2：如何证明？ 答案：看 an+1-an=d(n∈N*)是否成立. 解：因为an+1-an=2n+1+3-2n+3=2，所以数列an是公差为2的等差数列，此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项，所求和为 Sn=a100+a2002×101 =2×100+3+2×200+32×101 =30603. 因此，这个数列从第100项到第200项的和S的值为30603. 小结：从等差数列中任意取出连续的n项仍为等差数列，确定首项、末项和项数即可利用等差数列的求和公式进行求和. 想一想：还有其它的方法能求解上面的问题吗？ 答案：S=S200-S100. 试着动笔算一算，看是否与上面的结果相同. 问题3：等差数列的求和在实际生活中有什么应用呢？ 例：在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？ 分析：工人每种一棵树并返回A处所要走的路程分别为0，20，40，60，…，380. 解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m）组成了一个数列 0，20，40，60，…，380， 这是首项a1=0，公差d=20，项数n=20的等差数列，其和 S20=20a1+20×(20-1)2d=0+20×(20-1)2×20=3800(m). 因此，植树工人共走了3800 m的路程. 小结：解题的关键是构造合适的等差数列，遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型. 注意以下两点： ①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． ②深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn，或是求项数n. 问题4：我们知道等差数列的通项公式是特殊的函数，那么等差数列的前n项和公式与函数的关系是什么呢？ 答案：由Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n可知， 当d=0，a1=0时，Sn=0n∈N*， Sn与n之间的函数关系可以表示为fx=0x∈N*； ②当d=0，a1≠0时，Sn=na1n∈N*，Sn与n之间的函数关系可以表示为fx=kx(x∈N*，k=0)； ③当d≠0时，Sn与n之间的函数关系可以表示为fx=ax2+bx (x∈N*， a，b均为常数，且a≠0).它的图象是抛物线y=d2x2+a1-d2x上的一群独立点． 思考1：提到抛物线就想到最值问题，等差数列在什么情况下有最值呢？如何确定Sn(d≠0)的最值？ 答案：①当d＞0时， {an}为递增数列，逐项增大，Sn有最小值； 当a1≥0时， Sn的最小值为S1； 当a1<0时， Sn的最小值为所有非正项的和的值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≤0an+1≥0确定． ②当d<0时，{an}为递减数列，逐项减小，Sn有最大值. 当a1≤0时， Sn的最大值为S1； 当a1>0时， Sn的最大值为所有非负项的和的值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≥0an+1≤0确定. 思考2：能否从函数的角度来分析一下Sn(d≠0)的最值问题. 当d≠0时，Sn=d2n2+a1-d2n. ①当d>0时，Sn关于n的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最小； ②当d<0时，Sn关于n的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最大. 设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养． 三、应用举例 例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 解：(方法一)由d=-2，得an+1-an=-2＜0，得an+1＜an，所以an是递减数列． 由a1=10，d=-2，得an=10+n-1×-2=-2n+12． 可知，当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0． 所以，S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…，也就是说，当n=5或6时，Sn最大． 因为S5=522×10+5-1×(-2)=30，所以Sn的最大值为30． (方法二)由a1＝10，d＝－2，得Sn=d2n2+a1-d2n=-n2+11n=-n-1122+1214，所以，当n取与112最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30． 例2 某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min 能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h）依次设为 a1，a2，…，a25. 这是一个等差数列，其中首项a1=24，公差d=-13. 25辆车可以完成的工作量为 a1+a2+…+a25=25a1+25×25-12d=25×24+25×25-12×-13=500. 需要完成的工作量为24×20=480. 因此，在24 h内能构筑成第二道防线. 设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式的应用及最值问题，掌握利用等差数列的求和公式解决相关问题． 四、课堂练习 1.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为(　　) A.15 B.16 C.49 D.64 2.数列an的前n项和Sn=33n-n2， （1）求an的通项公式； （2）问an的前多少项和最大. 3.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇． 4.一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息． (1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，则这支车队当天一共行驶了多少路程？ 参考答案： 1.解：a8=S8-S7=82-72=15. 故选A. 2.解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=34-2n， 又当n＝1时，a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n. 故an的通项公式为an=34-2n． （2）（方法一）令an≥0，得34－2n≥0， 所以n≤17， 故数列an的前17项均大于或等于零． 又a17＝0，故数列an的前16项或前17项的和最大． （方法二）由y=-x2+33x的对称轴为x=332． 距离332最近的整数为16，17． 故数列an的前16项或前17项的和最大． 3.解：设n分钟后相遇，依题意，有2n+n1+n2+5n=70， 整理得n2+13n-140=0. 解得n=7，n=-20 (舍去)， 所以相遇是在开始运动后7分钟． 4.解：由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列an，其中a1=240，公差d=-10，则an=240-10n-1=-10n+250. (1)因为a15=-10×15+250=100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240+1002×15=2550(min) =852 h， 所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60=2550(km)． 五、课堂小结 1.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型. 2.在等差数列中，求Sn的最小（大）值的方法： ①通项公式法：利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大（小）值. ②函数法：借助二次函数的图象及性质求最值. 六、布置作业 教材第19页练习第1，2，3，4题．