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2022-2023学年山东省聊城市高唐县九年级（上）期中数学试卷
1. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是( )
A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25
3. 如图，D，E分别在△ABC的两边AB，AC上，若DE//BC，则下列成立的是( )
A. ADBD=CEAE
B. ADBD=DEBC
C. ABBD=ACCE
D. ADAB=CEAC
4. 如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是( )
A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC
C. ABAC=BDCB D. ADAB=ABAC
5. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )
A. 53米 B. 10米 C. 15米 D. 103米
6. 如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取∠ABD=145°，BD=500m，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是( )
A. 500sin55°m B. 500cos55°m C. 500tan55°m D. 500cos55∘m
7. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )
A. BDBC B. BCAB C. ADAC D. CDAC
8. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( )
A. 255 B. 55 C. 2 D. 12
9. 如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP<2，则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A. 60°
B. 120°
C. 60°或120°
D. 30°或150°
10. 如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？( )
A. 5 B. 6 C. 30 D. 112
11. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB=30°，AB=3，则阴影部分的面积是
A. 32
B. π6
C. 32−π6
D. 33−π6
12. 如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点(P与A、B、C、D不重合)，经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为( )
A. π4 B. π2 C. π6 D. π3
13. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．
14. 如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=______
度．
15. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD=______度．
16. 如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°=______．
17. 如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，PE⊥BP交BC的延长线于点E，交CD于点F，若AB=6，AP=4，则CE的长为______．
18. 计算：
(1)sin260°+cos260°−tan45°；
(2)|−12|+8−4cos45°+2sin30°．
19. 如图，△ABC在方格纸中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(3,4)，C(7,3)，并求出点B的坐标；
(2)以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S．
20. 如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC=180°，AB=4，BC=8，求BD的长．
21. 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
(1)求证：BD=CD；
(2)若圆O的半径为3，求BC的长．
22. 如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．(结果保留根号)
23. 如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
(1)AC与CD相等吗？为什么？
(2)若AC=2，AO=5，求OD的长度．
24. 已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．
(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)
25. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)如果AB=5，BC=6，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据勾股定理，AB=22+22=22，BC=2，
所以，夹直角的两边的比为222=2，
观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：B．
可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故选：C．
先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
3.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADBD=AECE，所以A选项不符合题意；
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，所以B选项不符合题意；
∴ABBD=ACCE，所以C选项符合题意；
ADAB=AEAC，所以D选项不符合题意．
故选：C．
先根据平行线分线段成比例可对A进行判断；再证明△ADE∽△ABC，则可根据相似三角形的性质对B进行判断；然后根据比例的性质对C、D进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
4.【答案】C
【解析】解：A、若∠ABD=∠C，∠A=∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、若∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、若ABAC=BDCB，其夹角不相等，则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、若ADAB=ABAC，∠A=∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：C．
利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
本题考查了相似三角形的判定．证明三角形相似是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=33；
∴AC=BC÷tanA=53米；
故选：A．
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及对三角函数的运用能力．
6.【答案】B
【解析】解：在直角△BDE中，cosD=DEBD，
∴DE=BD⋅cosD=500cos55°．
故选：B．
根据已知利用已知角的余弦函数表示即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD=BDBC=BCAB=DCAC，
只有选项C错误，符合题意．
故选：C．
利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DAB=tan∠DEB=12．
故选：D．
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
此题主要考查了圆周角定理(同弧或等弧所对的圆周角相等)和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：作OD⊥AB于D，
∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP<2，
∴OD=1，
∴∠OAB=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=12∠AOB=60°，
∵∠E+∠F=180°，
∴∠F=120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°，
故选：C．
作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB=12∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，求出弦AB所对的圆周角的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
10.【答案】B
【解析】解：
设圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切的切点分别为N、M，
连接OM、ON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=11，∠A=90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，
∵OM=ON，
∴四边形ANOM是正方形，
∴AM=OM=5，
∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5，
∴AM=5，DM=DE，
∴DE=11−5=6，
故选：B．
求出正方形ANOM，求出AM长，根据DE=DM求出即可．
本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用．
11.【答案】C
【解析】解：连接OB．
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∵OC=OB，∠C=30°，
∴∠C=∠OBC
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