2022-2023学年山东省济宁市任城区九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年山东省济宁市任城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知点(2,3)在反比例函数y=kx的图象上，则该图象一定不经过的点是(    ) A. (1,6) B. (−6,1) C. (32,4) D. (−1,−6) 2. tan45°的值等于(    ) A. 2 B. 1 C. 22 D. 33 3. 抛物线y=12(x−2)2−3的顶点坐标是(    ) A. (2,3) B. (2,−3) C. (−2,3) D. (−2,−3) 4. 已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是(    ) A. x<1 B. x>1 C. x<2 D. x>2 5. 将抛物线y=x2−2x+3向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是(    ) A. y=x2+2 B. y=(x+1)2+3 C. y=(x+1)2+1 D. y=(x−3)2+1 6. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=2m，则迎水坡宽度AC的长为(    ) A. 22m B. 4m C. 23m D. 6m 7. 如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(    ) A. 31010 B. 12 C. 13 D. 1010 8. 已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于(    ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=a； (2)量得测角仪的高度CD=a； (3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b． 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为(    ) A. a+btana B. a+bsina C. a+btana D. a+bsinα 10. 函数y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B.给出如下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②PA与PB始终相等； ③四边形PAOB的面积大小不会发生变化； ④CA=13AP． 其中所有正确结论的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 已知反比例函数的图象经过点(3,4)，则该函数表达式为______． 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanB=______． 13. 某同学用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：则该二次函数在x=3时，y=______． x … −2 −1 0 1 2 … y … −6.5 −4 −2.5 −2 −2.5 … 14. 一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m.当水面下降1m后，水面宽度是______m.(结果保留根号) 15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x<12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有______.(填写代表正确结论的序号) 三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题6.0分) 计算： (1)6tan230°−3sin60°−2tan45°； (2)sin60°cos60°+sin45°cos45°−sin30°cos30°． 17. (本小题7.0分) 已知二次函数y=x2+mx+m2−3(m为常数，m>0)的图象经过点P(2,4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 18. (本小题7.0分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=12，AC=43，求∠A，∠B，AB的大小． 19. (本小题7.0分) 如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点．现测得∠ABC=60°，∠ACB=45°，求这段河流的宽度(结果精确到0.1m)． 20. (本小题9.0分) 阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 21. (本小题8.0分) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax−3a(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx(x>0)的一个交点为C，且BC=12AC． (1)求点A的坐标； (2)当S△AOC=3时，求a和k的值． 22. (本小题11.0分) 已知抛物线y=−x2+2x+m.抛物线过点A(3,0)，与x轴的另一个交点为C.与y轴交于点B.直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P． (1)求抛物线的解析式及点B，C的坐标； (2)求直线AB的解析式和点P的坐标； (3)在第一象限内的该抛物线有一点D，且S△ABD=12S△ABC，求点D的坐标． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)， ∴k=2×3=6， ∵−6×1=−6≠6， ∴该图象一定不经过的点是(−6,1)． 故选：B． 将A(2,3)代入y=kx，求出k的值，再根据k=xy对各项进行逐一检验即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 2.【答案】B  【解析】解：tan45°的值等于1， 故选：B． 根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】 【分析】 此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【解答】 解：因为y=12(x−2)2−3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,−3)． 故选B．    4.【答案】B  【解析】解：∵y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∴x>1时，y随x增大而增大， 故选：B． 将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5.【答案】C  【解析】解：∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2， ∴将抛物线y=x2−2x+3向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是：y=2(x−1+2)2+2−1，即y=(x+1)2+1． 故选C． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：迎水坡AB的坡比是1：2，即tan∠A=12， 则BCAC=12， 又∵BC=2米， ∴AC=2BC=22(米)． 故选：A． 由堤高BC=2米，迎水坡AB的坡比1：2，根据坡度的定义，即可求得AC的长． 此题考查了坡度坡角问题，注意理解坡度的定义是解此题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：过点B作BC⊥AO于点C， ∵AB=2， ∴由勾股定理可知：AO=25，BO=22， 设CO=x， ∴(22)2−x2=22−(25−x)2， ∴8−x2=4−(20−45x+x2)， 解得：x=655， ∴cos∠AOB=COBO=31010， ∴sin∠AOB=1010， 故选：D． 过点B作BC⊥AO于点C，根据勾股定理可求出AO=25，BO=22，设CO=x，再由勾股定理可求出x的值，从而可∠AOB的正弦值． 本题考查解三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 8.【答案】A  【解析】解：∵b−a=1， ∴b=a+1， ∴a2+2b−6a+7 =a2+2(a+1)−6a+7 =a2+2a+2−6a+7 =a2−4a+4+5 =(a−2)2+5， ∴代数式a2+2b−6a+7的最小值等于5， 故选：A． 由题意得b=a+1，代入代数式a2+2b−6a+7可得(a−2)2+5，故此题的最小值是5． 此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算． 9.【答案】A  【解析】 【分析】 本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】 解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形， ∴BF=CD=a，CF=BD=b， ∵∠ACF=a， ∴tana=AFCF=AFb， ∴AF=b⋅tana， ∴AB=AF+BF=a+btana， 故选A．   10.【答案】C  【解析】解：∵A、B是反比函数y=1x上的点， ∴S△OBD=S△OAC=12，故①正确； 当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误； ∵P是y=4x的图象上一动点， ∴S矩形PDOC=4， ∴S四边形PAOB=S矩形PDOC−S△ODB--S△OAC=4−12−12=3，故③正确； 连接OP， ∴S△POCS△OAC=PCAC=212=4， ∴AC=14PC，PA=34PC， ∴PAAC=3， ∴AC=13AP；故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 由于A、B是反比函数y=1x上的点，可得出S△OBD=S△OAC=12，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论． 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 11.【答案】y=12x  【解析】解：设反比例函数为y=kx(k≠0)， ∵反比例函数的图象经过点(3,4)， ∴4=k3， ∴k=12， ∴反比例函数的解析式为y=12x． 故答案为：y=12x． 运用待定系数法求出函数的解析式即可． 考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式． 12.【答案】43  【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3， ∴AC=52−32=4， ∴tanB=ACBC=43． 故答案为：43． 先根据勾股定理求出BC的长，然后根据正切的定义求解． 本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键． 13.【答案】−4  【解析】解：由表中数据得，抛物线的对称轴为直线x=1， ∴点(−1,−4)关于直线x=1的对称点为(3,−4)， ∴当x=3时，y=−4． 故答案为−4．