2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方铺中学九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方铺中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 一元二次方程x(x−2)=2−x的根是(    ) A. x=−1 B. x=2 C. x1=1，x2=2 D. x1=−1，x2=2 2. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0的一个根为0，则k的值为(    ) A. 0 B. 1 C. −1 D. 1或−1 3. 已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干，支干和小分支的总数是157，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，所列方程是(    ) A. x2=157 B. (1+x)2=157 C. 1+x+x2=157 D. x+x2=157 5. 已知二次函数y=x2+mx+n的对称轴为x=−1，点(−4,y1)(−3,y2)，(3,y3)在此函数的图象上，则有(    ) A. y1>y2>y3     B. y3>y1>y2      C. y2>y1>y3     D. y3>y2>y1 6. 将抛物线y=3(x−2)2+1，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为(    ) A. y=3(x+1)2+3 B. y=3(x−5)2+3 C. y=3(x−5)2−1 D. y=3(x+1)2−1 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x−1)2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … −1 0 1 2 … y … m −2 −2 n … 当x=−12时，与其对应的函数值y>0，给出下列四个结论：①关于x的方程ax2+bx+c=n的两个根是−1和2；②m+2n<10；③t(at+b)≥−a4(t为任意实数).其中正确结论是(    ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 已知一元二次方程4x2−5x=81，则它的二次项系数为______，一次项为______，常数项为______． 10. 若(a−2)x|a|−2x+3=0是关于x的一元二次方程，则a的值是______． 11. 若关于x的一元二次方程x2+ax=0有两个相等的实数根，则a的值为______． 12. 若x1，x2是方程x2−6x+8=0的两根，则x1+x2−x1x2的值______． 13. 将抛物线y=2(x−2)2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的表达式为______． 14. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是______． 15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．当y>0时，自变量x的取值范围是______． 16. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标为(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，有下列结论：①a>0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当−10；⑤83≤n≤4.其中正确的序号是______． 三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题8.0分) 解方程： (1)3x2−6x−2=0； (2)x(x−2)+x−2=0． 18. (本小题8.0分) 已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0， (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为0，求实数k的值及另外一个根． 19. (本小题8.0分) 关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有两个实数根x1和x2． (1)求实数m的取值范围； (2)当x1⋅x2−x1−x2=0时，求m的值． 20. (本小题8.0分) 如图，点A，B在函数y=14x2的图象上，已知点A、B的横坐标分别为−2，4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB． (1)求直线AB的函数解析式； (2)求△AOB的面积． 21. (本小题8.0分) 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一直线l：y=mx+n经过点A、C，直接写出不等式ax2+bx+c≥mx+n的解集； (3)若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，请直接写出P点的坐标． 22. (本小题8.0分) 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元． (1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元； (2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. (本小题8.0分) 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于42cm？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若点P沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线BC方向从B点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积为8cm2？ 24. (本小题8.0分) 已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0,0)和点A(3,3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m,0)，并与直线OA交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； (3)过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：∵x(x−2)=2−x， ∴x(x−2)+(x−2)=0， ∴(x−2)(x+1)=0， ∴x−2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=−1． 故选：D． 先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)． 2.【答案】C  【解析】解：∵方程(k−1)x2+3x+k2−1=0为一元二次方程， ∴k−1≠0， ∴k≠1． 将x=0代入(k−1)x2+3x+k2−1=0，得：k2−1=0， 解得k1=−1，k2=1(不合题意，舍去)． 故选：C． 根据一元二次方程的定义可得出k−1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根． 先利用第二象限点的坐标特征得到ac<0，则判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】 解：∵点P(a,c)在第二象限， ∴a<0，c>0， ∴ac<0， ∴Δ=b2−4ac>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B．    4.【答案】C  【解析】解：依题意得：1+x+x2=157， 故选：C． 根据主干、支干、小分支的总数为157，即可得出关于x的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：∵二次函数y=x2+mx+n的对称轴为x=−1， ∴当x>−1时，y随x的增大而增大，当x<−1时，y随x的增大而减小， ∵点(−4,y1)(−3,y2)，(3,y3)在此函数的图象上，−1−(−4)=3，−1−(−3)=2，3−(−1)=4， ∴y3>y1>y2， 故选：B． 根据题目中二次函数的对称轴、二次函数的性质，可以判断出y1、y2、y3大小关系，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征． 6.【答案】A  【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线y=3(x−2)2+1，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为y=3(x−2+3)2+1+2，即y=3(x+1)2+3． 故选：A． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：函数顶点坐标M为(1,0)， 设：点M到直线l的距离为a， 则：y=(x−1)2=a，解得：x=1±a， 即：A(1−a,0)，B(1+a,0)， ∵AB=4， ∴1+a−(1−a)=4， 解得：a=4， 即点M到直线l的距离为4． 故选：C． 函数顶点坐标M为(1,0)，设：点M到直线l的距离为a，则：y=(x−1)2=a，求出A、B坐标即可求解． 本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；求出抛物线的对称轴是解决问题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=12， ∴(−1,m)和(2,n)关于对称轴对称， ∴m=n， ∴关于x的方程ax2+bx+c=n的两个根是−1和2， 故①正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=−b2a=12，c=−2， ∴b=−a， 当x=−12时，与其对应的函数值y>0， ∴14a−12b−2>0， ∴a>83， 当x=−1时，m=a−b−2=2a−2， ∴m+2n=3m=3(2a−2)>10， 故②错误； ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=12，图象开口向上， ∴at2+bt−2≥14a−12b−2， ∴t(at+b)≥−a4， 故③正确． 故选：B． 根据题意先求出函数的对称轴，再根据函数的性质逐项判断即可． 本题考查二次函数的图象及