2022-2023学年山东省日照市东港区曲阜师大附中九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年山东省日照市东港区曲阜师大附中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程2x2−3x−1=0，配方正确的是(    ) A. (x−32)2=134 B. (x−34)2=12 C. (x−34)2=1716 D. (x−32)2=114 3. 已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为(    ) A. 32cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 4. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.38万户，设全市用户数年平均增长率为x，则x值为(    ) A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是(    ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 23cm 6. 下列语句中，正确的有(    ) ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部； ④垂直于半径的直线是圆的切线； ⑤E、F是∠AOB的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆； ⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内； A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 5个 7. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则锐角∠BDC的度数为(    ) A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 8. 如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为26，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(    ) A. 6 B. 563 C. 4 D. 5 9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分图形的面积为(    ) A. 4π B. 2π C. π D. 2π3 10. 如图，已知⊙O中，CD，AB是⊙O的两条弦，∠AOB与∠COD互补，若AB=8，CD=6，则⊙O的半径长为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(    ) A. a≥−2 B. a<3 C. −2≤a<3 D. −2≤a≤3 12. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③b2−4ac>0；④2a−b=0；⑤方程ax2+bx+c−3=0有两个相等的实数根．⑥(a+c)2≤b2，其中正确的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= ______  cm． 14. 如果α、β是一元二次方程x2+3x−1=0的两个根，那么α2+2α−β的值是______ ． 15. 用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是______． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题10.0分) 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3)． (1)作出△AOB关于原点的对称△A1OB1，则点B1的坐标为______； (2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为______； (3)在(2)中的旋转过程中，求出点A的运动轨迹长度． 18. (本小题12.0分) 已知关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=p(p+1)． (1)试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； (2)若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22−x1x2=3p2+1，求p的值． 19. (本小题12.0分) 如图，AB是⊙O的直径，点F是△ABC的内心，连接CF并延长交⊙O于D，连接BD并延长至E，使得BD=DE，连接AE． (1)求证：FD=BD； (2)求证：AE是⊙O的切线． 20. (本小题12.0分) 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． (1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？(成本=进价×销售量) 21. (本小题12.0分) 猜想：如图①，在直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，四边形DECF是正方形，AD=8，DB=5.在求阴影部分图形的面积时，可将△DBE绕点D逆时针旋转90°，得到△DGF(如图②)，则阴影部分图形的面积为______． 探究：如图③，在四边形ABCCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，过点A作AE⊥BC于E，BC=8，CD=4.将△AEB绕点A逆时针旋转90°，得到△AGD，也得到正方形AECG(如图④).求四边形ABCD的面积． 应用：如图⑤，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CD，连结DE(△DCE是等腰直角三角形).将DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连结AF.若AB=4，则△ADF的面积为______． 22. (本小题14.0分) 如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA=2，OB=4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积； (3)在(2)的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】 【分析】 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【解答】 解：A、不是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故正确； C、不是中心对称图形．故错误； D、不是中心对称图形．故错误． 故选：B．   2.【答案】C  【解析】解：2x2−3x−1=0， 2x2−3x=1， x2−32x=12， x2−32x+916=12+916， (x−34)2=1716， 故选：C． 移项，系数化成1，再配方，即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 3.【答案】B  【解析】 【分析】 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 【解答】 解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5=15πcm2， ∴R=3cm， 故选：B．   4.【答案】B  【解析】解：设全市5G用户数年平均增长率为x， 依题意得：2(1+x)2=3.38， 即(1+x)2=1.69， 解得：x1=0.3，x2=−2.3(舍去)， 所以增长率为0.3=30%， 故选：B． 设全市5G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程取正值即可得到答案． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质和含30°角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB′与已知线段AC的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到AB=2AC=2，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到AB′=BB′． 【解答】 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm， ∴AC=12AB，则AB=2AC=2cm． 由旋转的性质知，AC′=AC=12AB，B′C′⊥AB， ∴B′C′是AB的中垂线， ∴AB′=BB′． 由旋转的性质知，AB=AB′=BB′=2cm． 故选：B．   6.【答案】A  【解析】 【分析】 本题考查了三角形的内心和外心的性质，切线的判定定理，三点确定一个圆，垂径定理，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键． 根据三角形的内心和外心的性质，切线的判定定理，三点确定一个圆，垂径定理判断即可． 【解答】 解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误； ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故错误； ③锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部；故正确； ④垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线；故错误； ⑤当∠AOB是平角时，E、O、F三点在一直线上，不能确定一个圆；故错误； ⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内或三角形外或三角形的边上；故错误； 故选：A．   7.【答案】B  【解析】 【分析】 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数． 此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角． 【解答】 解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=38°， ∴∠BAC=90°−∠ABC=52°， ∴∠BDC=∠BAC=52°． 故选：B．   8.【答案】C  【解析】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴AC是直径，AC=2AB， ∴OE=OF=22AB． ∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心， ∴OE=OF=23×26×32=22， ∴22AB=22， ∴AB=4． 即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4． 故选：C． 连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE=OF=22AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE=OF=22，由此得到关于AB的方程22AB=22，易得AB=4． 本题考查