第19讲 函数的基本性质-单调性
知识梳理
1.严格增函数与严格减函数
对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1
f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数（strictly decreasing function）.
此外，如果总成立f(x1)≤f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是增函数（increasing function）;
而如果总成立f(x1)≥f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是减函数（ decreasing function）.
“严格增”、“严格减”、“增”及“减”统称为函数的单调性.
2.单调函数与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数（monotonic function），并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间（monotonic interval）.
总结:（1）增（减）函数概念分析
前提条件
设函数的定义域为D，区间I⊆D
条件
任意的x1，x2∈I，x1f(x2)
图示
结论
f(x)在区间I上严格递增
f(x)在区间I上严格递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
（2）若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在I上单调递增．
(3)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(4)单调区间I⊆定义域D.
(5)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
题型探究
题型一、函数单调性的判定与证明
【例1】利用单调性的定义，证明函数在(－1，＋∞)上是严格减函数．
【例2】用定义判断函数在(－2，＋∞)上的单调性．
方法总结：利用定义判断或证明函数单调性的步骤
[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式.
【例3】（复合函数单调性）讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
方法总结：1.形如函数y＝logaf(x)的单调性判断
首先要求定义域，在定义域内，当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性保持一致，当0f(5x－6)，则实数x的取值范围为 .
（2）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________．
方法总结:
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式．
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．
题型五、利用函数奇偶性与单调性比函数值大小
【例7】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)
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