2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试题及答案解析

2022-2023学年上海市部分学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知3x=4y(y≠0).那么下列各式正确的是(    ) A. x：y=3：4 B. x：y=4：3 C. x：y=1：3 D. x：y=1：4 2. 在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为(    ) A. 60米 B. 40米 C. 30米 D. 25米 3. 在Rt△ABC中，∠B=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC的长是(    ) A. a⋅tanα B. a⋅cotα C. acosα D. asinα 4. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE//BC的是(    ) A. ADDE=ABBC B. ADAE=ABAC C. BDAD=CEAE D. BDAB=CEAC 5. 下列命题中，假命题是(    ) A. 任意两个正方形一定相似 B. 任意两个边长相等的菱形一定相似 C. 任意两个等边三角形一定相似 D. 任意两个等腰直角三角形一定相似 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G.那么下列结论正确的是(    ) A. AE2=EF⋅FG B. AE2=EF⋅AG C. AE2=EG⋅FG D. AE2=EF⋅EG 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7. 已知ab=23，那么代数式b−aa+b的值是______． 8. 如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是______ ． 9. 已知点P是线段MN的黄金分割点，MP>PN，如果MN=8，那么PM的长是______． 10. 在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际距离是______千米． 11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为2：3，周长之和为20cm，则较小的三角形的周长为______． 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=32，AB=10，那么BC的长是______． 13. 如图，已知AD//BE//CF.如果AB=4.8，DE=3.6，EF=1.2，那么AC的长是______． 14. 在△ABC中，AB=AC=6，∠A=36°，点D在边AC上，如果BD=BC，那么BC的长是______． 15. 在Rt△ABC中，∠A=90°，已知AB=1，AC=2，AD是∠BAC的平分线，那么AD的长是______． 16. 已知△ABC∽△DEF，如果△ABC三边长分别是2，2，2，△DEF的两边长为1，2，那么它的第三边长是______． 17. 在△ABC中，∠A=2∠B，如果AC=4，AB=5，那么BC的长是______． 18. 如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE=2AE、AF=2FD，正方形A′B′C′D′的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A′D′//EF，那么正方形A′B′C′D′的边长是______． 三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题10.0分) 计算：sin60°+|1−cot30°|+tan45°−cos30°． 20. (本小题10.0分) 如图4，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC和BD交于点O，且AC⊥BD． (1)设AB=a，AD=b，如果CD：AB=2：7，求BO(用含a、b的式子表示)； (2)如果AC=12，tan∠CAB=34，求梯形ABCD的面积． 21. (本小题10.0分) 如图，△ABC是某工厂一块三角形剩余料，边BC=120mm，高AD=80mm.小王将这块余料加工成正方形零件，使一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC边上，求这个正方形零件的周长． 22. (本小题10.0分) 如图，在Rt△EAC中，∠EAC=90°，∠E=45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC=∠EAB，BF=5，tan∠AFB=34． 求：(1)AD的长； (2)cot∠DCF的值． 23. (本小题10.0分) 如图，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB上的点，AD和CF交于点E． (1)如果BF⋅AB=BD⋅BC.求证：EF⋅CE=DE⋅AE； (2)如果AE⋅BF=2AF⋅DE，求证：AD是△ABC的中线． 24. (本小题14.0分) 如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点． (1)当DE=2时，求点B到直线AE的距离； (2)将正方形ABCD沿直线AE翻折后，点D的对应点是点D′，联结CD′交正方形 ABCD的一边于点F，如果AF=CE，求AF的长． 25. (本小题14.0分) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，sin∠BAC=45，BD是斜边AC上的中线，点P是线段DB延长线上一点，点E是线段AP的中点，联结CE交PD于点F． (1)求证：EF⋅PF=DF⋅CF； (2)如果CE⊥AP，联结PC，点G在线段PC上，当点G满足怎样的条件时，以点C、D、E、G为顶点的四边形CDEG是菱形？ (3)当∠PAB=∠DBC时，求BP的长． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意； B、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故此选项符合题意； C、由比例的性质，得3x=y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意； D、由比例的性质，得4x=y与3x=4y不一致，故此选项不符合题意． 故选：B． 根据比例的性质，可得答案． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．比例的性质：内项之积等于外项之积． 2.【答案】C  【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设旗杆的高度为xm， 则可列比例式，1.52=x40，解得x=30． 故选：C． 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似 本题考查同学们利用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：如图： 在Rt△ABC中，AC=BCsinA=asinα． 故选：D． 画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型． 4.【答案】A  【解析】解：由ADDE=ABBC，则DE//BC，不一定成立，故选项A符合题意． ∵ADAE=ABAC， ∴ADAB=AEAC， ∴DE//BC，故选项B不符合题意． ∵BDAD=CEAE， ∴DE//BC，故选项C不符合题意． ∵BDAB=CEAC， ∴DE//BC，故选项D不符合题意． 故选：A． 根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5.【答案】B  【解析】解：A、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合题意； B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意； D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 利用相似形的定义进行判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大． 6.【答案】D  【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴△AED∽△GEB，△DEF∽△BEA， ∴AEEG=DEEB，DEEB=EFAE， ∴AEEG=EFAE， 即AE2=EF⋅EG． 所以选项D正确， 故选：D． 解答此题的关键是利用平行四边形证明出△ADE∽△EGB，△DEF∽△AEB，然后利用对应边成比例即可解答此题． 此题主要考查学生利用平行四边形的性质证明三角形相似以及相似三角形的对应边成比例，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 7.【答案】15  【解析】解：∵ab=23， 设a=2k，b=3k， ∴b−aa+b=3k−2k2k+3k=k5k=15． 故答案为：15． 已知ab=23，则设a=2k，b=3k，把a和b的值代入代数式b−aa+b化简即可． 本题考查了比例的性质，根据已知设出a=2k，b=3k是解题的关键． 8.【答案】2：3  【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9， ∴两个相似三角形相似比是2：3， ∴它们对应高的比是2：3． 故答案为：2：3． 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可． 本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 9.【答案】45−4  【解析】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP>PN，MN=8， ∴PM=5−12MN=5−12×8=45−4， 故答案为：45−4． 由黄金分割的定义得PM=5−12MN，即可得出结论． 本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值5−12叫做黄金比． 10.【答案】17.5  【解析】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米， 根据题意得，1：500000=3.5：x， 解得x=1750000， 12000000厘米=17.5千米． 即甲乙两地的实际距离为17.5千米． 故答案为：17.5． 根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位． 本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换是解决问题的关键． 11.【答案】8cm  【解析】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×25=8cm， 故答案为：8cm 根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比来解答． 本题考查对相似三角形性质的理解： (1)相似三角形周长的比等于相似比； (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方； (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 12.【答案】53  【解析】解：在Rt△ABC中， ∵sinA=BCAB=32，AB=10， ∴BC=53． 故答案为：53． 利用直角三角形的边角间关系得结论． 本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 13.【答案】6.4  【解析】解：∵AD//BE//CF， ∴ABBC=DEEF， ∵AB=4.8，DE=3.6，EF=1.2， ∴4.8BC=3.61.2， 解得BC=1.6， ∴AC=AB+BC=4.8+1.6=6.4． 故答案为：6.4． 根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例