辽宁省抚顺市重点高中2020～2021学年高一数学下学期期末考试试题【含答案】

辽宁省抚顺市重点高中2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1．已知复数z＝2﹣i，则z•的值为（　　） A．5 B． C．3 D． 2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则•＝（　　） A．﹣25 B．25 C．﹣16 D．16 3．已知在△ABC中，若b2＝ac，A＝30°，则的值等于（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，若a2+c2＝b2+ac，则角B等于（　　） A．120° B．30° C．45° D．60° 5．如果向量满足||＝1，||＝，且⊥（﹣），则和的夹角大小为（　　） A．30° B．45° C．75° D．135° 6．要得到y＝3sin（2x+）的图象只需将y＝3sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 7．已知一平面截一球得到直径为2的圆面，球心到这个面的距离是，则该球的体积为（　　）cm3 A．12π B．36π C．64π D．108π 8．函数f（x）＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二.本题共四小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下面是关于复数z＝1+i（i为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（　　） A．|z|＝ B．z对应的点在第一象限 C．z的虚部为i D．z的共轭复数为﹣1+i 10．下列化简正确的是（　　） A．tan（π+1）＝tan 1 B．＝cos α C．＝tan α D．＝1 11．在△ABC中，已知（a+b）：（c+a）：（b+c）＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是（　　） A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．△ABC一定是钝三角形 C．sinA：sinB：sinC＝7：5：3 D．若b+c＝8，则△ABC的面积是 12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，给出下列关于g（x）的结论，中正确的是（　　） A．它的图象关于直线对称 B．它的最小正周期为 C．它的图象关于点对称 D．它在上单调递增 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知复数z＝的实部为3，则z的虚部为 　 　． 14．已知两个向量，的夹角为30°，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝　 　． 15．cos1，cos2，cos3的大小关系 　 　． 16．化简f（x）＝，f（sin6）+f（sin（﹣6））的结果为 　 　． 三、解答题：本题共5小题，每小题14分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数． （1）求复数z的实部和虚部； （2）若z2+az+b＝1﹣i，求实数a，b的值． 18．已知向量＝（2cosθ，sinθ），＝（1，﹣2）． （1）若∥，求的值； （2）若θ＝45°，2﹣t与+垂直，求实数t的值． 19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c＝a+2bcosA． （1）求角B； （2）若△ABC的面积为，，求△ABC的周长． 20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，E为PB的中点． （1）求证：PD∥平面AEC； （2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积． 21．已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1． （1）求函数f（x）的最大值及相应的x的值； （2）求函数f（x）的单调增区间． 答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1．已知复数z＝2﹣i，则z•的值为（　　） A．5 B． C．3 D． 解：由z＝2﹣i，得z•＝（2﹣i）（2+i）＝4﹣i2＝5． 故选：A． 2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则•＝（　　） A．﹣25 B．25 C．﹣16 D．16 解：•＝||•||cos（π﹣A）＝﹣||•||•|cosA＝﹣＝﹣16． 故选：C． 3．已知在△ABC中，若b2＝ac，A＝30°，则的值等于（　　） A． B． C． D． 解：在△ABC中，若b2＝ac，A＝30°， 利用正弦定理：bsinB＝csinA， 故． 故选：D． 4．在△ABC中，若a2+c2＝b2+ac，则角B等于（　　） A．120° B．30° C．45° D．60° 解：在△ABC中，若a2+c2＝b2+ac， 利用余弦定理：， 由于0＜B＜π， 所以B＝30°． 故选：B． 5．如果向量满足||＝1，||＝，且⊥（﹣），则和的夹角大小为（　　） A．30° B．45° C．75° D．135° 解：由题意故，即 故两向量夹角的余弦值为＝ 故两向量夹角的取值范围是45° 故选：B． 6．要得到y＝3sin（2x+）的图象只需将y＝3sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解：∵， ∴只需将y＝3sin2x的图象向左平移个单位 故选：C． 7．已知一平面截一球得到直径为2的圆面，球心到这个面的距离是，则该球的体积为（　　）cm3 A．12π B．36π C．64π D．108π 解：设截面圆的圆心为O1，球心为O，则OO1垂直于截面， 则，又已知截面圆的直径为，∴截面圆的半径r＝， 设球的半径为R，则R＝， ∴该球的体积为×33＝36πcm3， 故选：B． 8．函数f（x）＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵y＝cos2x在[0，2π]上有4个零点分别为，，， 函数y＝x的零点有0 ∴函数f（x）＝xcos2x在区间[0，2π]上有5个零点．分别为0，，，， 故选：D． 二.本题共四小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下面是关于复数z＝1+i（i为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（　　） A．|z|＝ B．z对应的点在第一象限 C．z的虚部为i D．z的共轭复数为﹣1+i 解：∵复数z＝1+i，∴|z|＝＝，故A正确； ∴z对应的点（1，1）在第一象限，故B正确； ∴z的虚部为1，故C错误； ∴z的共轭复数为1﹣i，故D错误， 故选：AB． 10．下列化简正确的是（　　） A．tan（π+1）＝tan 1 B．＝cos α C．＝tan α D．＝1 解：∵由诱导公式可得 tan（π+1）＝tan1，故A正确； ＝＝cosα，故B正确； ＝＝﹣tanα，故C不正确； ＝＝﹣1，故D不正确， 故选：AB． 11．在△ABC中，已知（a+b）：（c+a）：（b+c）＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是（　　） A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．△ABC一定是钝三角形 C．sinA：sinB：sinC＝7：5：3 D．若b+c＝8，则△ABC的面积是 解：∵（a+b）：（c+a）：（b+c）＝6：5：4， ∴设a+b＝6k，c+a＝5k，b+c＝4k，（k＞0）， 得a＝k，b＝k，c＝k， 则a：b：c＝7：5：3， 则sinA：sinB：sinC＝7：5：3，故C正确， 由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误， cosA＝＝＝﹣＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确， 若b+c＝8，则k+k＝4k＝8， 则k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°， ∴△ABC的面积S＝bcsinA＝＝．故D错误， 故选：BC． 12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，给出下列关于g（x）的结论，中正确的是（　　） A．它的图象关于直线对称 B．它的最小正周期为 C．它的图象关于点对称 D．它在上单调递增 解：∵f（x）＝sin3x﹣cos3x+1＝2sin（3x﹣）+1， ∴g（x）＝2sin[3（x+）﹣]+1＝2sin（3x+）+1， 令3x+＝kπ+，得x＝+，（k∈Z），∴x＝不是g（x）的对称轴，①错误， 函数g（x）的周期为，故②正确； 令3x+＝kπ，得x＝﹣，（k∈Z），取k＝2，得x＝，故g（x）关于点（，1）对称，③正确： 令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得﹣≤x≤+， 取k＝2，得≤x≤，取k＝3，得≤x≤，故④错误． 故选：BC． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知复数z＝的实部为3，则z的虚部为 　4　． 解：∵z＝＝＝， 又∵复数z的实部为3， ∴， ∴a＝1， ∴z＝3+4i，即z的虚部为4． 故4． 14．已知两个向量，的夹角为30°，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝　+　． 解：∵|2﹣|＝， ∴4﹣4•+＝8， ∴4×1﹣4×1×||cos30°+＝8，化简得﹣2||﹣3＝0， ∴||＝±（舍负）， ∴||＝+． 故+． 15．cos1，cos2，cos3的大小关系 　cos1＞cos2＞cos3　． 解：因为， 又当时，cosx＞0，当时，cosx＜0，且函数y＝cosx在上单调递减， 所以cos1＞cos2＞cos3． 故cos1＞cos2＞cos3． 16．化简f（x）＝，f（sin6）+f（sin（﹣6））的结果为 　﹣2cos3　． 解：∵f（x）＝， ∴f（sin6）+f（sin（﹣6）） ＝+ ＝+ ＝﹣sin3﹣cos3+sin3﹣cos3 ＝﹣2cos3． 故﹣2cos3． 三、解答题：本题共5小题，每小题14分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数． （1）求复数z的实部和虚部； （2）若z2+az+b＝1﹣i，求实数a，b的值． 解：（1）∵，… ∴复数z的实部为1，虚部为1． （2）由（1）知z＝1+i， 代入z2+az+b＝1﹣i， 得：（a+b）+（2+a）i＝1﹣i， ∴， 所以实数a，b的值分别为﹣3，4．… 18．已知向量＝（2cosθ，sinθ），＝（1，﹣2）． （1）若∥，求的值； （2）若θ＝45°，2﹣t与+垂直，求实数t的值． 解：（1）∵向量＝（2cosθ，sinθ），＝（1，﹣2），∥， ∴，∴tanθ＝﹣4， ∴＝＝＝2． （2）∵θ＝45°，∴＝（，）， ∴2﹣t＝（2，），+＝（3，﹣1）， ∵2﹣t与+垂直， ∴（2﹣t）•（+）＝（2）×3+（）×（﹣1）＝0， 解得t＝． 19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c＝a+2bcosA． （1）求角B； （2）若△ABC的面积为，，求△ABC的周长． 解：（1）由正弦定理可得2sinC＝sinA+2sinBcosA， ∴2sin（A+B）＝sinA+2sinBcosA， ∴2sinAcosB＝sinA， 在△ABC中，∵sinA≠0， ∴． 又∵B∈（0，π），∴， （2）∵． ∴ac＝4． 由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB得b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac． ∵， ∴a+c＝5， ∴△ABC的周长为． 20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，E为PB的中点． （1）求证：PD∥平面AEC； （2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积． 证明：（1）连接BD交AC于点O