上海高考中函数解答题分析函数题在上海数学高考中所战比例较大，经常作为最后的双押轴题之一若最后两道押轴题不 是以函数为主要载体，则必定在前面的解答题中出现函数题，此时通常为容易题或中等题，函数类 型为基本函数或简单复合函数，强调数形结合，强调代数证明，集中考察单调性，最值，值域等性 质若作为押轴题，除了前两问考察函数的基本性质外，第三问则强调化归思想，常与方程、不等 式、恒成立等问题有关，要求具备对函数性质综合分析应用能力在目前命题要求原创的情况下， 常常有新的定义、性质的证明另外，应用题也经常与函数结合一起考察下面以此分类汇总一、函数的基本性质考察(2010一春)已知函数f(x) = log〃(8 —2')(a〉0,a?l)(1) 若函数/'(x)的反函数是其本身，求的值；(2) 当〉1时，求函数y = f(x) + f(-x)的最大值2008-19 上海春)已知函数 f (x) = log2(2' +l)⑴求证：函数f(X)在(-8,+8)内单调递增；(2)记为函数f(x)的反函数若关于x的方程f-\x) = m + f(x)在[1, 2]内有解，求实数 m的取值范围.(2006-19 ±海春)已知函数/(x) = 2sin71X + —-2cosx,71X € —, 7124(1) 若sinx =—,求函数f (x)的值； (2)求函数f(x)的值域.(2006—17上海)求函数y =2cos(x + —)cos(x - —) + V3 sin 2x的值域和最小正周期. 4 4(2002—19 _b海)已知函数 f (x)=x2+2x • tan 0 一1, x£[—1, V3 ],其中 0 u (一—,—).2 27T(1) 当。
一一时，求函数y=f (x)的最大值与最小值；6(2) 求0的取值范围，使y=f(x)在区间[―1, 上是单调函数.(2000-19 ±海)已知函数 f (a-) = , , * c [l,+oo]X(1) 当时，求函数7*3)的最小值：(2) 若对任意xg[1,+oo],/(x) > 0恒成立，试求实数的取值范围另外，值得注意的是解答题倒数第三题，它是由容易题到较难题的过度题，难度上起伏较大， 通常是根据整卷的难度分布设计的若押轴题较难，则此题相对简单，否则，可能有一定难度2007 — 19 上海)已知函数 f(X)= ./ + — (x N 0, a e R)(1) 判断/Xx)的奇偶性(2) 若/'(x)在［2,+8)是增函数，求实数a的范围(2004—20 ±海)已知二次函数y = ft(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y = f2(x) 的图像与直线y = x的两个交点间距离为8, f(x) = f^x) + f2(x)1) 求函数y(x)的表达式；(2) 证明：当a〉3时，关于f (%) - f (a)的方程有三个实数解i 1 i I(2003—20 上海春)已知函数 f(x) = %3~X 3 ,g(x)= *3 : 3 .(1) 证明/Xx)是奇函数；并求/Xx)的单调区间(2) 分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f (3)g⑶的值,由此概括出涉及函数f⑴和g(x) 的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.X — 2(2002-20 上海春)已知函数 f(x)=ax +- (a > 1).x + 1(1) 证明：函数/(X)在(-1,+ 8)上为增函数；(2) 用反证法证明方程人了)=0没有负数根.二、函数的综合性质考察(2009—22秋)已知函数y = /■*(%)是y = y(x)的反函数。
定义：若对给定的实数a("0),函 数y = /(x + a)和y = f-'(x + a)互为反函数，则称函数y = f(x)为“a和性质”；若函数y = f(ax) 和y = f~\ax)互为反函数，则称函数y = f(x)为“a积性质”1)判断函数f(x) = .r+l,(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；(2) 求所有满足“2和性质”的一次函数，并说明理由；(3) 设函数y = f (x)(x > 0)对任何〉0,都有“a积性质”，求y = /(x)的解析式2009—20 春)设函数 fn(^) = sin" 6 + (-1)" cosn 0,0<0<^,其中 n 为正整数1) 判断函数"),人()的单调性，并就勿)的情形证明你的结论；(2) 证明：2押)-尤(们=(cos4 6>-sin4 6>)(cos2sir?)；(3) 对于任意给定的正整数n,求函数九()的最大值和最小值2006-21 上海春)设函数 f(x) = | / 一 4x _ 5 "(1)在区间［ — 2, 6］上画出函数/'(X)的图像;X如果常数a >0,那么该函数在(0,西］上是减函数，在［4a , +°°)上是增函数.2b(1) 如果函数y =x + 一 ( x >0)的值域为［6, +8),求人的值；x(2) 研究函数y =x2 + ^ (常数c>0)在定义域内的单调性，并说明理由；X(3) 对函数y = x + —和^=子+三(常数a >0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特X X例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数F(x) = (x2 +-)" + Xd + x)"(〃是正整数)在区间［L, 2］上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).x 2(2005-21 ±海春)已知函数/(x) = x + -的定义域为(0, + oo),
为坐标原点，求四边形"N面积的最小值.(2005 — 21上海)对定义域是Df、Og的函数y = f (x)、y = g(x),规定：函数f(x)g(x),当xe/且xeOgh(x) = < 了 (x),当xcOf 且og(x),当/且xcOg(1) 若函数f (.X)- — , g(x) = x2,写出函数/?(x)的解析式；x-1(2) 求问题(1)中函数/1(对的值域；(3) 若g(x) = /(x + 6Z),其中a是常数，且a g [0,7i\,请设计一个定义域为R的函数V = «/(")，及一个的值，使得h(x) = cos4x ,并予以证明2004—21上海春)已知函数f(x) = \x-a \, g(x) = x2 +2ax + l (q为正常数)，且函数f(x)与 g( x)的图象在y轴上的截距相等1) 求的值；(2) 求函数抱)+g(x)的单调递增区间；(3) 若兀为正整数,证明：10/(,,)-(-)s(,,)<4.5(2003-22上海)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x&R,有 f(x + T)=Tf(x)成立1)函数f (x) = x是否属于集合M?说明理由。
2)函数/(x) = ax (更1)的图像与y = x的图像有公共点，证明：/(x) = ax(3) 若函数/(.r) = sinkx e M ,求实数k的取值范围2002-22 ±海春)对于函数/U),若存在x°eR，使人心)=眄成立，则称而为/3)的不动点.已知函数 f(x)-ax2+(b+1 )x+(Z?-l)(a 乂 0).⑴当a=l力=-2时，求函数位)的不动点;(2) 若对任意实数代函数/(X)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3) 在(2)的条件下，若y=々)图上A、B两点的横坐标是函数母)的不动点，且A、B两点关于直线v=kx + 对称，求〜的最小值.la' +1。