2021～2022学年高三年级期末试卷
数学试卷
(满分：150分 考试时间：120分钟)
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合M＝{y|y＝sin x，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R)，则M∩N＝( )
A. [－1，＋∞) B. [－1，0) C. [0，1] D. (0，1]
2. 在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0
0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( )
A. B. 1 C. －2－2 D. －2＋2
8. 已知f(x)＝则当x≥0时，f(2x)与f(x2)的大小关系是( )
A. f(2x)≤f(x2) B. f(2x)≥f(x2)
C. f(2x)＝f(x2) D. 不确定
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若函数f(x) ＝cos 2x＋sin x，则关于f(x)的性质说法正确的有( )
A. 偶函数 B. 最小正周期为π
C. 既有最大值也有最小值 D. 有无数个零点
10. 若椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列b的值能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有( )
A. b＝ B. b＝ C. b＝2 D. b＝
11. 若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1，记在数列{an}的前n＋2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为Pn，则( )
A. P1＝ B. P2ncos D，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若________，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.
(1) 若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{abn}也是等差数列；
(2) 若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和．
19. (本小题满分12分)
佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度
2018
2019
2020
2021
年度序号x
1
2
3
4
不戴头盔人数y
1 250
1 050
1 000
900
(1) 请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程y＝bx＋a，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；
(2) 交警统计2018～2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
不戴头盔
戴头盔
伤亡
7
3
不伤亡
13
27
参考公式和数据：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
20. (本小题满分12分)
在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为AC中点，平面AB1C⊥平面ABC.
(1) 求证：B1D⊥平面ABC；
(2) 求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值．
21. (本小题满分12分)
设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值．
22. (本小题满分12分)
设函数f(x)＝－3ln x＋x3＋ax2－2ax，a∈R.
(1) 求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2) 若x1，x2为函数f(x)的两个不等于1的极值点，设P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，求证：k＋2cos D，A∈(0，π)，D∈(0，π)，∴A3.841.(9分)
而P(K2≥3.841)＝0.05，
故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．(12分)
20. (1) 证明：∵ AB1＝B1C，D为AC中点，∴ B1D⊥AC，(2分)
∵平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1D⊂平面AB1C，
∴ B1D⊥平面ABC.(5分)
(2) 解：(解法1：向量法)在平面ABC内过点D分别作AB，BC的平行线，交AB，BC于点E，F.
由(1)知B1D⊥平面ABC，AB⊥BC，以{，，DB1}为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(7分)
∵ AB＝8，BC＝6，∴ AC＝10，BD＝5.
∵ AA1＝BB1＝13，∴ B1D＝12，
得D(0，0，0)，A(3，－4，0)，B(3，4，0)，C(