《实数指数幂及其运算》教学设计123603

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 实数指数幂及其运算（）教学设计 课程名称：3.1.1 实数指数幂及其运算（第一节）教材分析：1.数系的扩充 众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z到Q，从Q到R，从R到C，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。数系扩充的动力主要包括两个方面：（1）生产生活的推动 就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量 t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。（2）数学本身的推动 许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质：（1）m nmnaaa（0a，,m nR）（2）当1a 时，若mn，则mnaa（0a，,m nR）当1a 时，若mn，则mnaa（0a，,m nR）当1a 时，若mn，则mnaa（0a，,m nR）则指数na的定义是唯一的 2.Cauchy法 从Z到Q是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,Q是,Z的分式环；从Q到R也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。这种方法即为Cauchy法.事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如：（1）()f x是正比例函数或零函数()()(),f mnf mf nm nR（2）()f x是指数函数或零函数()()(),f mnf mf nm nR（3）()f x是对数函数或零函数()()(),0f m nf mf nm n（4）()f x是幂函数或零函数()()(),0f m nf mf nm n 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3 问题一：现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。假设某时刻放射性物质M的量为 1，则在自然条件下：（1）1 年后，剩余放射性物质M的量为多少？（2）2 年后，剩余放射性物质M的量为多少？（3）3 年后，剩余放射性物质M的量为多少？（4）n年后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？问题二：现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。假设在自然条件下，放射性物质M放置了一段时间，剩余的量为1，则：（1）若放置时间为 1 年，则 1 年前放射性物质M的量为多少？（2）若放置时间为 2 年，则 2 年前放射性物质M的量为多少？（3）若放置时间为 3 年，则 3 年前放射性物质M的量为多少？（4）若放置时间为n年，则n年前放射性物质M的量为多少？为什么？问题三：根据前面的回答，填写下表 时间 n 年前 2 年前 1 年前 今年 1 年后 2 年后 N 年后 量 1 设计意图：复习整数指数幂的概念，重温负整数指数幂生成过程 二、问题引入 问题四：前述表达中，n的取值范围是什么？问题五：现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。假设某时刻放射性物质M的量为 1，则在自然条件下：（1）半 年后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？（2）一个月后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？（3）一年半后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？设计意图：结合具体模型为进一步引入有理指数幂及根式的概念作必要的准备 三、概念形成：一般地，设a，b是实数，n为正整数.若nba，则称b为a的n次单位根.（1）当n为奇数时，任何实数均恰有一个n次单位根，记作na；（2）当n为偶数时，负数没有n次单位根；0 有唯一的n次单位根 0；正数有两个n次单位根，记作na 根式运算性质：,|,nnanaan为奇数为偶数 问题六：观察等式 3332aaa，mna（其中m、n是正整数）应该如何定义？设计意图：引入正有理指数幂的概念 问题七：参考负整数次幂的实际意义，mna（其中m、n是正整数）有何实际意义？应欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4 该如何定义？设计意图：引入负有理指数幂的概念 问题八：为了对任意的整数m、n，mna和mna都有意义，应该对a的取值范围补充哪些规定？设计意图：强调底数的取值范围.例 1.用分数指数幂表示下列各式 32x 31a 34()ab 322mn 23xy 设计意图：有理指数幂形式与根式形式相互转化 例 2.先将下列各式写成根式形式，再求值 1236 126449 2327 1410000 124 32164 设计意图：体验根式形式的优点 四、运算律：问题九：观察等式：33113222aaa，31122aaa，它们分别是初中阶段哪条性质的推广？设计意图：引入指数运算的性质 问题十：结合模型，说明m nmnaaa的含义.设计意图：阐明指数运算律的意义，帮助学生理解运算律.设a，b是任意正数，m，n是任意有理数，则：m nmnaaa，nmmnaa，()mmma bab 例 3.计算 151384aaa 61132xy 设计意图：有理指数运算性质应用 例 4.计算 842 222 2333(0)yxxxy 设计意图：体验有理指数运算的优点 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5 五、课堂小结：1.本节课我们学习了分数指数幂的概念及与根式的关系 2.本节课我们将指数运算性质从整数指数推广到了有理指数幂 3.回顾数系的扩充，我们经历了 NNQZQR 回顾幂指数的扩充，我们经历了 NNQZQR 六、课后作业：1.课本 90 页 B 组 1、2 题的偶数题 2.三新（3.1.1 实数指数幂及其运算（一）板书设计：3.1.1 实数指数幂及其运算 一、根式 二、分数指数幂 三、运算律 若nxa（nN）mmnmnnaaa aaa 则 x为a的n次方根 （0a，,m nN，mn既约）aa 若n为奇数，则nxa 1mnmnaa aba b 若n为偶数，则nxa（0a，,m nN，mn既约）,Q，0a 教学反思：课堂实践基本实现了课前预期.以应用背景为主线，贯穿本节课的教学，有效的克服了本节课的难点，使学生较易接受有理指数幂的概念，为后期进一步学习实数指数幂、指数函数，乃至对数运算、对数函数、幂函数都提供了素材.学生在得到下述连等式时：3133122aaaaa 往往仅能关注到其中的一个或两个等式，生成的顺序也不尽相同，需要教师对各种可能情况做好预案，根据课堂进程加以引导.学生虽然较为容易的得到了公式：m nmnaaa，nmmnaa 但是后续还需要不断强化和训练，加深学生的熟练度 本节课中关于根式运算的概念及其相关性质涉及较少，后续的课堂教学中需有针对性的补充和训练，否则可能会影响幂函数的学习（研究幂函数性质的一个重要方法，即将其改写为根式形式）.