〔第二十二章 二次函数〕
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考点01 二次函数的概念
1.若y＝(a－4)xa－3a－2+a是二次函数,求:
(1)a的值；
(2)该函数的解析式
考点02 二次函数的图像与性质
2.已知二次函数y＝－x2+2x+4,则下列关于这个函数图像和性质的说法,正确的是 ( )
A.图像的开口向上 B.图像的顶点坐标是(1,3)
C.当x<1时,y随x的增大而增大 D.图像与x轴有唯一交点
3.若二次函数y＝a2x2－bx－c的图像过不同的六点A(－1,n),B(5,n－1),C(6,n+1),D(,y1),E(2,y2),F(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1
0； ②2a+b＝0； ③3b－2c<0； ④am2+bm≥a+b(m为实数).
其中,正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点04 二次函数与一元二次方程的关系
6.抛物线y＝2x2+2(k－1)x－k(k为常数)与x轴交点的个数是________。
7.已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A(2,0),B(3n－4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若n<－5,试比较y1与y2的大小；
(3)若B,C两点在直线x＝1的两侧,且y1>y2,求n的取值范围
考点05 二次函数的实际应用
8.用各种盛水容器可以制作精到的家用流水景观〔如图(1).〕科学原理:如图(2),始终盛满水的圆柱体水桶水面离面的高度为H(单位:cm),如果在离水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位:cm与h的关系式为s2＝4h(H－h)
(第8题图)
应用思考:现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连续注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离h cm处开一个小孔
(1)写出s2与h的关系式,并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少；
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同,求a,b之间
的关系式；
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离
9.某公司生产A型活动板房的成本是每个425元.图(1)表示A型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,长方形的长AD＝4m,宽AB＝3m,抛物线的最高点E到BC的距离为4m
(1)按如图(1)的平面直角坐标系,抛物线可以用y＝kx2+m(k≠0)表示,求该抛物线的解析式
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图(2),在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2m,求每个B型活动板房的成本是多少.(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)
(3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,当公司将销售单价n定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润w最大？最大利润是多少？
考点06 二次函数性质与一次函数性质的综合应用
10.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y＝x+m经过点A,抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点
(1)判断点B是否在直线y＝x+m上,并说明理由；
(2)求a,b的值；
(3)平移抛物线y＝ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y＝x+m上,求平移后所得的抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值
考点07 解与二次函数有关的压轴题
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2+bx+与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l,P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M是直线l上的一点,其纵坐标为－m+以PQ,QM为边作矩形PQMN
(1)求b的值；
(2)当点Q与点M重合时,求m的值；
(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形的内部时,求m的值；
(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围
考点08 数形结合思想的运用
12.已知抛物线y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
(1)根据以上信息,可知抛物线开口向________,对称轴为________；
(2)求抛物线的解析式及m,n的值；
(3)请在图中画出所求的抛物线.设P为抛物线上的动点,OP的中点为P′,描出相应的点P′,再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线；
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及
(3)中的点P′所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为点A1,A2,A3,A4,请根据图像直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系:________
考点09 分类讨论思想的运用
13.如图,已知抛物线y＝ax2+bx－1与x轴的交点为A(－1,0),B(2,0),且与y轴交于点C
(1)求该抛物线的解析式
(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与点B,C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E,F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大？请说明理由
(3)已知P是直线y＝x+1上的动点,Q为抛物线上的动点,当以C,C1,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标
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《答案及》
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1.解：(1)∵y＝(a－4)xa－3a－2+a是二次函数,∴a2－3a－2＝2,且a－4≠0,解得a＝－1.
(2)该函数的解析式为y＝－5x2－1.
2.C∵y＝－x2+2x+4＝－(x－1)2+5,∴该函数图像的开口向下,顶点坐标为(1,5),该函数图像的对称轴为直线x＝1,当x<1时,y随x的增大而增大.令y＝0,则－x2+2x+4＝0,∴＝4－4×(－1)×4＝20>0,∴该函数图像与x轴有两个交点.故选C
3.D∵二次函数y＝a2x2－bx－c的图像过点A(－1,n),B(5,n－1),
C(6,n+1),∴抛物线的对称轴满足50,∴抛物线的开口向上,∴抛物线上离对称轴水平距离越远的点,对应的函数值越大∵点D(2,y1),E(2,y2),F(4,y3)也在抛物线上,∴y20,b<0,c>0,则ac>0；由直线可知,ac>0,b>0,该选项不符合题意.B.由抛物线可知,a>0,b>0,c>0,则ac>0；由直线可知,ac>0,b>0,该选项符合题意.C.由抛物线可知,a<0,b>0,c>0,则ac<0；由直线可知,ac<0,b<0,该选项不符合题意D.由抛物线可知,a<0,b<0,c>0,则ac<0；由直线可知,ac>0,b>0,该选项不符合题意.故选B.
5.D∵对称轴在y轴的右侧,∴ab<0.∵c<0,∴abc>0,①正确∵对称轴x＝－＝1,∴2a＝－b,即2a+＝0,②正确.∵2a+b＝0,∴a＝－b∵当x＝－1时,y＝a－b+c>0,∴－b－b+c>0,∴3b－2c<0,③正确.根据图像知,当x＝1时,y有最小值,为a+b+c,∴当m为实数时,am2+bm+c≥a+b+c,∴am2+bm≥a+b,④正确.故选D
6.2∵抛物线y＝2x2+2(k－1)x－k(k为常数),∴当y＝0时,0＝2x2+2(k－1)x－k,∴△＝2(k－1)2－4×2×(－k)＝4k2+4>0,∴0＝2x2+2(k－1)x－k有两个不相等的实数根∴抛物线y＝2x2+2(k－1)x－k(k为常数)与x轴有两个交点
7.解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(2,0),
∴0＝4a+2b+c.①
∵对称轴是直线x＝1,∴－＝1②
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根,
∴△＝(b－1)2－4ac＝0.③
由①②③可得,.
∴抛物线的解析式为y＝－x2+x
(2)∵n<－5,∴3n－4<－19,5n+6<－19,
∴点B,C都在对称轴的左侧
∵抛物线y＝－x2+x,且－<0,∴当x<1时,y随x的增大而增大
∵(3n－4)－(5n+6)＝－2n－10＝－2(n+5)>0,
∴3n－4>5n+6,∴y1>y2
(3)若点B在直线x＝1的左侧,点C在直线x＝1的右侧,由题意可得, ,
解得0
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