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2022-2023学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．若，则的值等于
A． B． C． D．
2．若二次函数的图象经过点，则必在该图象上的点还有
A． B． C． D．
3．已知的半径为5，若，则点在
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断
4．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
5．在中，弦等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为
A． B． C． D．
6．如图，在中，点，分别在，上，若，，，则的长为
A． B． C． D．
7．已知抛物线上有两点，，当时，与大小关系为
A． B． C． D．
8．已知的半径为7，是的弦，点在弦上．若，，则
A． B．4 C． D．5
9．抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点在上，，则的值是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中的横线上）
11．若点是线段的黄金分割点，且，，则 ．（保留根号）
12．二次函数的图象与轴的交点坐标是 ．
13．在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转，所得到的对应点的坐标为 ．
14．如图，、是的中线，若的面积是1，则的面积为 ．
15．设二次函数，，是实数，的最大值分别是，，若，则 ， ．
16．矩形中，，，点是边上一点，，连接，点是延长线上一点，连接，且，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知线段，，满足，且．
（1）求线段，，的长．
（2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长．
18．（8分）已知抛物线．
（1）写出它的对称轴和顶点坐标；
（2）若为该函数图象上的一点，若，求的取值范围．
19．（8分）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，．
（1）求的半径长；
（2）连接，作于点，求的长．
20．（10分）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价元．
（1）当时，求销售该水果的总利润；
（2）设每天销售该水果的总利润为元．
①求与之间的函数解析式；
②试判断能否达到8200元，如果能达到，求出此时的值；如果不能达到，求出的最大值．
21．（10分）如图，在中，是角平分线，平分交于点，且．
（1）求证：．
（2）若，且，求的长．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数为常数）．
（1）若函数经过点，求函数的表达式；
（2）若，当时，此二次函数随的增大而增大，求的取值范围；
（3）已知一次函数，当时，求的取值范围．
23．（12分）如图1，在矩形中，与交于点，为上一点，与交于点．
（1）若，，①求的度数．②如图2，连接，当时，求的值．
（2）设，记的面积为，四边形的面积为，求的最大值．
参考答案与试题解析
1．【解答】解：设，则，
所以．
故选：．
2．【解答】解：二次函数的图象的对称轴为轴，
点关于对称轴的对称点为，
点必在该图象上，
故选：．
3．【解答】解：的半径为5，，，
点在圆外．
故选：．
4．【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
5．【解答】解：连接、，如图，
，
为等边三角形，
，
即弦所对应的圆心角的度数为．
故选：．
6．【解答】解：，，
，
，
，
，
的长为．
故选：．
7．【解答】解：抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
抛物线上有两点，，
点关于直线的对称点也在抛物线上，
，
，
故选：．
8．【解答】解：如图，过点作于点，连接，
则，
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
故选：．
9．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看作与函数的图象有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最大值4；
．
故选：．
10．【解答】解：如图，过点作于，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
11．【解答】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故答案为．
12．【解答】解：将代得，
抛物线与轴交点坐标为，
故答案为：．
13．【解答】解：作轴于，如图，
，
，，
点绕原点顺时针旋转得到点相当于把绕原点顺时针旋转得到△，
，，，，
点的坐标为：．
故答案为：．
14．【解答】解：连接，
、是的中线，的面积是1，
，，
，，
，
，
，
，
．
15．【解答】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴 为，
函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上，
即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，，，
若，则有，
解得：或（舍去），
将代入，得：，
故答案为：0，0．
16．【解答】解：如图，连接，过点作于．
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
17．【解答】解：（1），
，，，
，
，
解得，
，，；
（2）是、的比例中项，
，
，
或（舍去），
即线段的长为．
18．【解答】解：（1），
所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2），
抛物线开口向下，
顶点坐标为，
时，有最大值3，
当时，，
为该函数图象上的一点，，
．
19．【解答】解：（1）连接，如图，设的半径长为，
，
，，
在中，，，，
，
解得，
即的半径长为5；
（2）在中，，，
，
，
，，
在中，，
即的长为．
20．【解答】解：（1）根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为（元，平均每天可售出（箱．
总利润为：（元；
（2）①由题意得与之间的函数解析式为；
②不能达到8200元．
．
，
当时，取到最大值，
，
不能达到8200元，
的最大值是8100元．
21．【解答】（1）证明：平分交于点，
，
，
，，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
22．【解答】解：（1）把代入，得：，
则；
（2）抛物线的对称轴为直线，，
抛物线开口向下，当时，二次函数随的增大而增大，
由时，此二次函数随的增大而增大，得到，即；
（3）由题意得：，
当时，，
当时，；当时，且．
23．【解答】解：（1）①，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
②过点作于点，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
，
；
（2）设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为．
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