小学三年级下册数学奥数知识讲解

三年级下册数学奥数知识讲解第 一 课 从数表中找规律奥数练习题和答案推断第20行的各数之和是多少?1 2 11 3 3 11 4 6 4 1分析与解答首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1,3=2+1,4=3+1,6=3+3。根据由得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1,5,10,10,5,1；第7行的数为 1,6,15,20,15,6,1。要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。行行行行行行123456gra-Fa-FS SF-a-r1=11+1=2I-1+2+1=22-,1+3+3+1=23-行数 T1+4+6+4+1=241+5+10+10+5+1=25-至此，我们可以推断，第20行各数之和为注:其中，2表示n个2相乘，即2 X 2X X 2,其中n为自然数。、_ M个2 本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用分析与解答例3 将自然数中的偶数2,列？4,6,8,10按下表排成5列，问2000出现在哪一A BC D E24 6 816 1412 1018 2022 2432 3028 2634 3638 4 04 8 4 64 4 4 250 方法L 考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D,E,D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000+8=125,即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的后人方法2：仔细观察数表，可以发现：的U中的数都是16的倍数，B 列中数除以16余2或者14,C 列中的数除以16余4 或12,D 列的数除以16余6或10,E 列中的数除以16余8.这就是说，数表中数的排列与除以16所得的余数有关，我们只要考察2000除以16所得的余数就可以了，因为2000+16=125,所 以 2000位于的J。学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么这样学习才能举一反三，不断进步。就 例 3而言，如果把偶数改为奇数，2000改 为 1993,其他条件不变，你能很快得到结果吗？例4 按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？1993呢?12345987610111213171615141819202125242322262728293332313034 分析与解答方法L 同例3的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数。(1500-9)8=186-3(19939)-8 =24 8所以，1500位于第188组的第3个数，1993位于第24 9组的最后一个数，即1500位于第列，1993位于第列。方法2：考虑除以8所得的余数.第列除以8余1,第列除以8余2或是8的倍数，第列除以8余3或7,第列除以8余4 或6,第列除以8余5；而1500-8=187-4,1993*8=24 9-1,则1993位于第列，1500位于第列。例5 从1开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框出九个数，能否使这九个数的和等于1993；114 3；1989.若能办到，请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由.分析与解答我们先来看这九个数的和有什么规律.仔细观察，容易发现：12+28=2X20,13+27=2X20,14+26=2X20,19+21=2 X 2 0,即：20是框中九个数的平均数.因此，框中九个数的和等于20与9的乘积.事实上，由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形框出的九个数来说，都有这样的规律，即这九个数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。因为1993不是9的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使其中九个数的和等于1993。1143+9=127,127+8=15 7.这就是说，如果1143是符合条件的九个数的和，则正中间的数一定是1 2 7,而127位于数表中从右边数的笫2列.但从题中的图容易看出，平行四边形正中间的数不能位于第1行，也不能位于从左数的第1列、第2列、第7列和第8列，因此，不可能构成以127为中心的平行四边形。1989-9=221,221+8=27 5,即1989是9的倍数，且数221位于数表中从左起的第5列，故可以找到九个数之和为1989的平行四边形，如图：其中最大的数是2 2 9,最小的数是213.三年级奥数下册：第一讲从数表中找规律习题习题一1.观察下面已给出的数表，并按规律填空:13 57 9 1113 15 17 1921 23()27 2931 33 35()39 412.下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后，按照规律填空。256711810()418610129203.下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列?19A BCD EF1236547891211101314151817164.从1开始的自然数如下排列，则第2行中的第7个数是多少?126715163581417.4913181012 11三年级奥数下册：第一讲从数表中找规律习题解答L第5行的括号中填25；第6行的括号中填37。2.这个数表的规律是：第二行的数等于相应的第三行的数与笫一行的数的差的2倍.即：8=2X（62）,10=2X（105）,4=2X（97）,18=2X（20-11）.因此，括号内填12。3.1993应排在B 列。4.参看下表：第2行的第7个数为30.三年级数学奥数知识讲解第 二 课 从哥尼斯堡七桥问题谈起奥数练习及答案三年级奥数下册：第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功.直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性。欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座侨，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了.那么，什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢？下面，我们就来介绍这一方面的简单知识。数学中，我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做图（如 图（a）;图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边.如图中，有三个结点：E、F、G,四条边：线段EG、FG以及连接E、F的两段弧.从图（a）、（b）中可以看出，任意两点之间都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为AfHI或A fD fI），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通 路（如M 与N）,像这样的图就不是连通图。(c)所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的八个结点全是奇点，上 图（b）中E、F 为奇点,G 为描点。容易知道，上 图（b）可以一笔画出，即从奇点E 出发，沿箭头所指方向，经过F、G、E,最后到达奇点F；同理，从奇点F 出发也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G 出发，却不能一笔画出.这是为什么呢？事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的结点X 既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X 一定是一个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X,由于不能重复，必须从另一条边离开X.这样与X 连结的边一定成对出现，所以X 必为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。在七桥问题的图中有四个奇点，因此，欧拉断言：这个图无法一笔画出，也即游人不可能不重复地一次走遍七座桥.更进一步地，欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。其他情况的图，都不能一笔画出。下面我们就来研究一笔画问题的具体应用:例1 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.分析与解答(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A f 头部f翅膀f尾部-*翅除一嘴.(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。(c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D o(d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：AfC D AB f E fFf Gf f L Jf B。(e)图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A f B C-D f E f F Gff LJfBfDTff 尸 A。(f)图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点。注意：在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。例2下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗?OOP分析与解答一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数.通过观察可以发现，上图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出.画时可以任一结点作为起点。例3下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C?分析与解答本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C,而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：M U C.这就是说，此图可以以A、C 两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A 出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B 出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C。例4下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析与解答这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，就可以发现：我们并不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走遍所有的门，与七桥问题较为类似.因此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出爱，一笔画完曲图，最后再回到A。上 图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有