桥梁结构及计算培训讲义1 桥梁结构分析的有限元法

桥梁结构理论长安大学长安大学 贺拴海贺拴海桥梁结构及计算培训讲义 第1篇 桥梁结构整体分析 桥梁结构分析的有限元法梁板式结构分析的有限条法能量原理及组合结构分析的变形协调法变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法桥梁结构的材料几何非线性分析 桥梁结构分析的有限元法桥梁结构有限元法的分析过程桁架桥结构分析梁式桥结构分析刚架桥结构分析薄壁箱梁桥结构分析复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元小结本章参考文献jNN1850年矩阵符号问世，1956年Turner 等人将刚架位移法推广应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题：拱坝、涡轮叶片、飞机、船体及大型桥梁2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题：结构地震、抗风与波浪力、动力反应3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学问题，疲劳与脆性断裂问题4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等）传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善，索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化.本章-简述有限元法的基本思路 汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵 介绍一种通用三维单元构造方法 虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用桥梁结构有限元法的分析过程结构有限元法的分析过程六个步骤：（1）结构的离散化 将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。（2）选择位移模式 假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系式：贺贺:例如分析例如分析对象是对象是桁架桥桁架桥时，可以取每时，可以取每根根杆件作为一杆件作为一个单元个单元，因为，因为桁架桥本来就桁架桥本来就是由杆件组成是由杆件组成的。但如果分的。但如果分析的对象是连析的对象是连续体，如续体，如板桥，板桥，那末为了有效那末为了有效地逼近实际的地逼近实际的连续体，就需连续体，就需要考虑选择要考虑选择单单元的形状和分元的形状和分割方案以及确割方案以及确定单元和结点定单元和结点的数目等问题的数目等问题。贺贺:选择适当的选择适当的位移函数是有限位移函数是有限单元法分析中的单元法分析中的关键。通常关键。通常选择选择多项式多项式作为位移作为位移模式。其原因是模式。其原因是因为多项式的因为多项式的数数学运算（微分和学运算（微分和积分）比较方便积分）比较方便，并且由于所有光并且由于所有光滑函数的局部，滑函数的局部，都可以用多项式都可以用多项式逼近。逼近。至于多项至于多项式的项数和阶次式的项数和阶次的选择，则要考的选择，则要考虑到单元的自由虑到单元的自由度和解的收敛性度和解的收敛性要求要求。一般来说，。一般来说，多项式的多项式的项数应项数应等于单元的自由等于单元的自由度数度数，它的阶次，它的阶次应包含常数项和应包含常数项和线性项等。这里线性项等。这里所谓单元的所谓单元的自由自由度是指单元结点度是指单元结点独立位移的个数独立位移的个数。（3）分析单元的力学特性 利用几何方程，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变 利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力 利用变分原理，建立单元的平衡方程 单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容（4）建立整个结构的平衡方程 两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。常用方法-直接刚度法 集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程（5）求解未知结点位移 考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。（6）计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（），单元坐标系（）桁架桥结构分析单元坐标系下单元刚度矩阵经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为桁架桥及其单元在初步设计时，可将空间问题简化为平面问题，用平面桁架来计算，如图所示。结点位移列阵 结点力列阵 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但平面桁架及其单元多梁式简支、连续及悬臂梁桥，可取板梁组合单元，也可取抗扭梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为 梁式桥及其单元梁式桥结构分析单元刚度矩阵梁及其单元单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写为结点力列阵虑剪切变形影响时，梁单元刚度矩阵剪切影响系数杆截面沿 轴方向的有效抗剪面积材料抗剪模量 分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接另一端刚接的梁单元，单元结点位移列阵 铰接悬臂梁铰接悬臂梁单元单元刚度矩阵结点力列阵刚架桥结构分析空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两端各有6个自由度结点位移列阵空间梁单元结点力列阵单元刚度矩阵对称考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵对称对 、轴方向的剪切影响系数 、杆截面沿 、轴方向的有效抗剪面积单梁式刚架桥可按平面刚架进行分析，如图所示刚架桥及其单元在结构坐标系中，单元刚度矩阵采用同样方法，亦可考虑剪切变形的影响。薄壁箱梁桥结构分析 在初等梁理论中，计入翘曲变形、剪力滞及畸变影响后，发展起来的薄壁梁解析理论能合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性。本节以单箱室对称截面箱形梁为对象，建立结构空间分析的刚度矩阵及其求解方程。薄壁箱梁断面及分析采用的坐标系（1）位移模型及平衡方程节点位移列阵截面形心位置；截面剪切中心位置；截面畸变中心位置；形心位置 沿 方向（梁轴方向）位移；剪切中心位置 在 方向（横向）位移；剪切中心位置 在 方向（竖向）位移；分别为断面绕三坐标轴的角位移；扭转翘曲位移；畸度角；，畸变翘曲位移；上翼板最大相对剪切转角位移差。翘曲和剪滞位移只在轴向产生，薄壁箱梁的断面位移模型单元平衡方程由弯曲变形分析给出由扭转变形分析给出由畸变分析给出直线梁的弯、扭变形互不耦联，可分别讨论（2）弯曲变形刚度弯曲变形刚度方程单元刚度系数翼板局部坐标，其原点除悬臂板取在悬臂端外，其余均取板中点，且方向与 轴一致 翼板修正系数，可根据试验或解析取得 除平面 内的力素外，在平面 各力素如下（3）扭转变形刚度扭转变形刚度方程 刚度系数 为（4）畸变刚度复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 上世纪90年代初，浙江大学徐兴教授从8-20节点三维实体等参元出发，直接引进基本假定，构造了一系列退化的单元，形成了退化单元系列：中厚板单元 Kirchhoff板单元 膜单元 空间梁单元 平面梁单元等 它们均是协调单元，单元自由度数与已有相应的单元相同。其突出的优点是：单元列式简单划一，各类退化单元间及实体单元连结十分方便 后来发展了虚拟层合单元对于 层合结构（钢与concrete）复杂的箱形、T形结构的总体分析十分简单有效，计算精度能够满足工程需要。大大提高了复杂组合结构的静、动力和非线性分析的计算效率。1）经典的三维实体等参元一般的实际问题都是空间问题，解决问题的方法就是建立用三维坐标描述的空间模型进行求解。描述空间问题最简单的单元是四面体，但是一个空间区域分割一些四面体小区域非常困难，甚至有些使人难以想象，如果用六面体来分割空间区域就能清楚地区分各个六面体之间的相互关系，因此用六面体来进行有限元分割是最方便的。空间三维等参元常用的是八节点二十节点的六面体，其中八节点六面体的形状完全由其八节点的位置或坐标所决定，其棱边是直线，其侧面是由两族直线所构成的直纹面，所以其计算精度和逼近物体的弯曲边界有时显得不够理想，二十节点六面体空间等参元能很好地满足计算精度和逼近物体的弯曲边界的要求，对空间问题通常是最有效的单元，而十二节点、十六节点六面体空间等参元是空间八节点等参元在一个或两个方向提高了精度8-20结点等参元母单元8-20结点等参数单元 实际单元坐标与母单元坐标之间的关系可表示为形函数记 三 维等 参 元的 节 点位 移 矢量为那么单元内任一点的位移可表示为按几何关系可得应变计算式有下列关系Jacobi矩阵 本构关系 弹性矩阵 三维等参元的刚度矩阵可分成 个子矩阵，典型的子矩阵单元体积力 等效到节点上的等效节点力为 将单元的表面力Jacobi行列式的值 等效到节点上的等效节点力为（2）退化的实体单元经典的板壳单元都是根据板壳理论构造出来的，而经典板壳理论则是一般的三维弹性理论根据板壳结构特殊的几何形状引入一定的简化假定后得到的，因此可以认为板壳理论是一种特定条件下简化的三维弹性理论。从三维弹性理论直接导出的是三维实体等参元。由此不难看出，板壳单元其实是一种特定条件下的简化的三维实体等参元，只要在三维实体等参元中引入必要的简化的假定即可发展成由三维实体等参元退化的板壳单元，如图所示，称之为退化的实体单元。三维弹性理论三维弹性理论薄板壳理论厚板假定薄板单元三维实体等参元中厚板壳单元薄板假定单元构造单元构造单元构造 板壳理论与板壳单元厚板假定薄板假定（a）相对位移的引入如图所示的16节点板壳单元，每个节点有 、三个自由度，共48个自由度。单元坐标和位移插值形函数和三维实体单元相同。考虑到扁平单元会使刚度矩阵病态，采用R.D.Wood的建议，用相对位移的办法克服。记16节点三维等参元的节点位移矢量为 16节点板壳单元引入相对位移后，单元节点位移矢量改为.（b）Reissner厚板单元 板的弹性理论是三维弹性理论的退化形式，我们在写出Reissner板的弹性本构关系时仍保留三维弹性理论的形式，为方便起见，取坐标 方向为板法线方向，根据Reissner板理论的假定 ，因此可以忽略 不计，有即 为不独立的应变分量，对上式沿厚度方向积分，得相对挠度假定约束 后16节点的单元自由度数从48降至40，与8节点40自由度厚壳单元相同，但在所有自由度中没有转角自由度而只有位移自由度，这样产生的单元，可以方便地与其它单元连接，而且有限元列式更加简单统一。如果引入中面不伸长的假定又将约束 自由度，单元变成16节点24自由度厚板单元，与8节点24自由度厚板元相同。为了与三维单元的形式一致，和 的约束也可用罚系数的方法来实现。在三维弹性应力应变关系中引入一个罚系数 ，当计算刚度矩阵时，取一大数，一般可取1000，使得 ，当计算应力时，取 =1或 =0，使 这样在三维弹性理论中，引入了Reissner板的假定，将三维弹性理论退化成Reissner板理论，具体的Reissner板的应力应变关系为（c）Kirchhoff板单元根据Kirchhoff板理论假定，即薄板横向的剪切刚度无限大，为此对相应的刚度系数进行修正，即乘以一个大数 =1000。此时应力应变关系修正为其它约束处理同Reissner板（d）薄膜单元根据类似分析如果引入约束可得到16节点24自由度膜单元（e）单元刚度矩阵上述分析表明，通过修正应力-应变关系和约束一部分相对位移可引入Reissner板、Kirchhoff板和膜的理论的基本假定。简单比较可见Reissner板、Kirchhoff板和膜结构的应力-应变关系扩阶后与三维弹性问题相似，因此板、膜单元的元素矩阵和三维块体等参元元素矩阵的具有完全相同的形式。（f）相对位移引入后刚度矩阵的修改考虑如下形式的单元平衡方程作变换则单元平衡方程变为整理得 对于一般的壳问题，上述推导在以法向 方向的局部坐标系内仍然成立。适当的坐标变换可把上述推导推广到一般壳单元，也可以得到一系列的正交曲线坐标系下的壳单元。采用类似的方法，可以从平面