资源描述
高考专题强化训练-导数综合应用
一、选择题
1.(2017新课标Ⅰ)已知函数,则
A.在单调递增 B.在单调递减
C.的图像关于直线对称 D.的图像关于点对称
2.(2017浙江)函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是
A. B.
C. D.
3.(2016年全国I卷)若函数在单调递增,则的取值范围是
A. B. C. D.
4.(2016年四川)已知为函数的极小值点,则
A.4 B.2 C.4 D.2
5.(2014新课标2)若函数在区间(1,+)单调递增,则的取值范围是
A. B. C. D.
6.(2014新课标2)设函数.若存在的极值点满足
,则的取值范围是
A. B.
C. D.
7.(2014辽宁)当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
8.(2014湖南)若,则
A. B.
C. D.
9.(2014江西)在同一直角坐标系中,函数与
的图像不可能的是
10.(2013新课标2)已知函数,下列结论中错误的是
A.
B.函数的图像是中心对称图形
C.若是的极小值点,则在区间单调递减
D.若是的极值点,则
11.(2013四川)设函数(,为自然对数的底数).若存在使成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.(2013福建)设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是
A. B.是的极小值点
C.是的极小值点 D.是的极小值点
13.(2012辽宁)函数的单调递减区间为
A.(-1,1] B.(0,1] C. [1,+) D.(0,+)
14.(2012陕西)设函数,则
A.为的极大值点 B.为的极小值点
C.为的极大值点 D.为的极小值点
15.(2011福建)若,,且函数在处有极值,则的最大值等于
A.2 B.3 C.6 D.9
16.(2011浙江)设函数,若为函数的一个极值点,则下列图象不可能为的图象是
A B C D
17.(2011湖南)设直线 与函数, 的图像分别交于点,则当达到最小时的值为
A.1 B. C. D.
二、填空题
18.(2016年天津)已知函数为的导函数,则的值为____.
19.(2015四川)已知函数,(其中).对于不相等的实数,设=,=.现有如下命题:
①对于任意不相等的实数,都有;
②对于任意的及任意不相等的实数,都有;
③对于任意的,存在不相等的实数,使得;
④对于任意的,存在不相等的实数,使得.
其中真命题有___________(写出所有真命题的序号).
20.(2011广东)函数在=______处取得极小值.
三、解答题
21.(2018全国卷Ⅰ)已知函数.
(1)设是的极值点.求,并求的单调区间;
(2)证明:当时,.
22.(2018浙江)已知函数.
(1)若在,()处导数相等,证明:;
(2)若,证明:对于任意,直线与曲线有唯一公共点.
23.(2018全国卷Ⅱ)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)证明:只有一个零点.
24.(2018北京)设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为0,求;
(2)若在处取得极小值,求的取值范围.
25.(2018全国卷Ⅲ)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:当时,.
26.(2018江苏)记分别为函数的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“点”.
(1)证明:函数与不存在“点”;
(2)若函数与存在“点”,求实数a的值;
(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“点”,并说明理由.
27.(2018天津)设函数,其中,且是公差为的等差数列.
(1)若 求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求的极值;
(3)若曲线与直线有三个互异的公共点,求d的取值范围.
28.(2017新课标Ⅰ)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求的取值范围.
29.(2017新课标Ⅱ)设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
30.(2017新课标Ⅲ)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明.
31.(2017天津)设,.已知函数,
.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点处有相同的切线,
(i)求证:在处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求的取值范围.
32.(2017浙江)已知函数.
(Ⅰ)求的导函数;
(Ⅱ)求在区间上的取值范围.
33.(2017江苏)已知函数有极值,且导函数 的极值点是的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求关于的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:;
34.(2016年全国I卷)已知函数.
(I)讨论的单调性;
(II)若有两个零点,求的取值范围.
35.(2016年全国II卷)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.
36.(2016年全国III卷)设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)证明当时,;
(III)设,证明当时,.
37.(2015新课标2)已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.
38.(2015新课标1)设函数.
(Ⅰ)讨论的导函数零点的个数;
(Ⅱ)证明:当时.
39.(2014新课标2)已知函数,曲线在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐标为-2.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:当时,曲线与直线只有一个交点.
40.(2014山东)设函数(为常数,是自然对数的底数)
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.
41.(2014新课标1)设函数,
曲线处的切线斜率为0
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若存在使得,求的取值范围.
42.(2014山东)设函数 ,其中为常数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调性.
43.(2014广东) 已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,试讨论是否存在,使得.
44.(2014江苏)已知函数,其中e是自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:是R上的偶函数;
(Ⅱ)若关于的不等式≤在上恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)已知正数满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.
45.(2013新课标1)已知函数,曲线在点处切线方程为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极大值.
46.(2013新课标2)已知函数.
(Ⅰ)求的极小值和极大值;
(Ⅱ)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围.
47.(2013福建)已知函数(,为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
48.(2013天津)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ) 证明:对任意的,存在唯一的,使.
(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的关于的函数为,
证明:当时,有.
49.(2013江苏)设函数,,其中为实数.
(Ⅰ)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(Ⅱ)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
50.(2012新课标)设函数f(x)=-ax-2
(Ⅰ)求的单调区间
(Ⅱ)若,为整数,且当时,,求的最大值
51.(2012安徽)设函数
(Ⅰ)求在内的最小值;
(Ⅱ)设曲线在点的切线方程为;求的值。
52.(2012山东)已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中是的导数.
证明:对任意的,.
53.(2011新课标)已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)证明:当,且时,.
54.(2011浙江)设函数,
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求所有实数,使对恒成立.
注:为自然对数的底数.
55.(2011福建)已知,为常数,且,函数,(e=2.71828…是自然对数的底数).
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,是否同时存在实数和(),使得对每一个∈,直线与曲线(∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数和最大的实数;若不存在,说明理由.
56.(2010新课标)设函数
(Ⅰ)若=,求的单调区间;
(Ⅱ)若当≥0时≥0,求的取值范围.
答案解析
1.C【解析】由,知,在上单调递增,
在上单调递减,排除A、B;又,
所以的图象关于对称,C正确.
2.D【解析】由导函数的图象可知,的单调性是减增减增,排除 A、C;由导函数的图象可知,的极值点一负两正,所以D符合,选D.
3.C【解析】函数在单调递增,
等价于
在恒成立.
设,则在恒成立,
所以,解得.故选C.
4.D【解析】因为,令,,当
时,单调递增;当时,单调递减;当时,单调递增.所以.故选D.
5.D【解析】∵,∴,∵在(1,+)单调递增,
所以当 时,恒成立,即在(1,+)上恒成立,
∵,∴,所以,故选D.
6.C【解析】由正弦型函数的图象可知:的极值点满足,
则,从而得.所以不等式
,即为,变形得,其中.由题意,存在整数使得不等式成立.当且时,必有,此时不等式显然不能成立,故或,此时,不等式即为,解得或.
7.C【解析】当时,得,令,则,
,令,,
则,显然在上,,单调递减,所以,因此;同理,当时,得.由以上两种情况得.显然当时也成立,故实数的取值范围为.
8.C【解析】设,则,故在上有一个极值点,即在上不是单调函数,无法判断与的大小,故A、B错;构造函数,,故在上单调递减,所以,选C.
9.B【解析】当,可得图象D;记,
,
取,,令,得,易知的极小值为,又,所以,所以图象A有可能;同理取,可得图象C有可能;利用排除法可知选B.
10.C【解析】若则有,所以A正确。由得
,因为函数的对称中心为(0,0),
所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知,若是的极小值点,则极大值点在的左侧,所以函数在区间(∞, )单调递减是错误的,D正确。选C.
11.A【解析】若在上恒成立,则,
则在上无解;
同理若在上恒成立,则。
所以在上有解等价于在上有解,
即,
令,所以,
所以.
12.D【解析】A.,错误.是的极大值点,并不是最大值点;B.是的极小值点.错误.相当于关于y轴的对称图像,故应是的极大值点;C.是的极小值点.错误.相当于关于轴的对称图像,故应是的极小值点.跟没有关系;D.是的极小值点.正确.相当于先关于y轴的对称,再关于轴的对称图像.故D正确.
13.B【解析】∵,∴,由,解得,又,
∴故选B.
14.D【解析】,,恒成立,令,则
当时,,函数单调减,当时,,函数单调增,
则为的极小值点,故选D.
15.D【解析】,由,即,得
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