第5章 线性代数

第第 5 5 章章线性代数线性代数学习指导学习指导【知识结构知识结构】一、行列式行列式定义性质计算展开式克莱姆法则二、矩阵矩阵定义行矩阵列矩阵特殊矩方阵零矩阵对称加法数乘运算转置求逆取行列三、初等变换初等变换初等矩阵初等变换矩阵的秩求法性质线性方程组解的判定解法E(i,j)E(i(k)E(i,j(k)四、向量及相关性向量线性表示向量组等价线性相关相关性定义性质与定理线性无关极大无关组向量组的秩定义求法五、线性方程组解的结构线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组解的结构基础解系与通解解的结构通解【内容小结内容小结】1行列式的概念与性质，矩阵的概念与运算：加、减，数乘，矩阵与矩阵的乘法，矩阵的行初等变换，求逆矩阵及矩阵的秩；向量的相关性概念及判别，克莱姆法则与高斯消元法解线性方程组，线性方程组解的结构2 正确理解余子式和代数余子式的概念，熟练掌握行列式的性质及行列式的计算方法：化成上（下）三角行列式法；按某行（列）降阶展开法；递推法，加边法等3矩阵的加法、乘法、数乘、转置的定义及运算规律注意矩阵的运算与数的运算的不同之处正确理解和掌握可逆矩阵：逆矩阵的定义，可逆矩阵的性质与求法（伴随矩阵法、行初等变换法）；熟练掌握矩阵的行初等变换，并会求矩阵的秩和逆矩阵4正确理解线性方程组的相容性定理，熟练掌握高斯消元法解线性方程组；理解 n 维向量的定义及线性表出的定义及判断，掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及判定，会求极大线性无关组并会用极大无关组将其余向量线性表出5求解线性方程组解：（1）求齐次线性方程组AX X=0 0 的解的一般步骤：把齐次方程组的系数写成矩阵A；把 A 通过行初等变换化为阶梯形矩阵；把阶梯形矩阵中不是首非零元所在列对应的变量作为自由元，共有nr，分别令自由元为1，其余为 0，求得 nr 个解向量，这 nr 个解向量即构成 AX X=0 0 的基础解系，即 1，2，nr，AX X=0 0 的通解为：C1 1+C2 2+Cnr nr（2）求非齐次方程组 AX X=B B（其中 A 为m n矩阵）通解如下：将增广矩阵A施行行初等变换，化为阶梯形矩阵；当 R(A)=R(A)=rn 时，把不是首非零元所在列对应的nr 个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得AX X=B B 的一个特解 X X0；不计最后一列，分别令一个自由元为1，其余自由元为 0，得到 AX X=0 0 的基础解系，即 1，2，nr，写出非齐次线性方程组AX X=B B 的通解X X=X X0+C1 1+C2 2+Cnr nr，（C1，C2，Cnr为任意常数）【目的要求目的要求】1理解行列式的概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式，会用克莱姆法则解线性方程组2理解矩阵的概念，了解几种特殊的矩阵，掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及它们的运算法则；了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵，了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，理解矩阵秩的概念；掌握矩阵的初等变换；会用初等变换求逆矩阵.3了解向量的概念、掌握向量的加法和数乘运算法则；理解向量的线性组合线性表示，向量组的线性相关线性无关的定义；掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质和判别法；了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念会求向量组的极大线性无关组及向量组的秩；了解向量组等价的概念，向量组的秩与矩阵秩的关系；理解其次线性方程组有非零解的充要条件；掌握非齐次线性方程有解和无解的判别方法；理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念；掌握齐次线性方程组基础解系的求法；理解非齐次线性方程组解的结构和通解的概念，掌握非齐次线性方程组通解的求法例题选解例题选解例例 1 1 计算下列三阶行列式1（1）aa21bb21xc，（2）yc2x yyx yxx yxy1a解：解：（1）2a1bb21c 利用对角线展开法 1bc2 ab21 a2c1c21ba2cb21c2a1(a b)(bc)(ca)1a另解：2a1bb211c 第1列乘-1分别加2、3列 ac2a20b ab2a20c ac2a2按第1行展开(ba)(c2a2)(c a)(b2a2)(a b)(b c)(c a)xy（2）x yyx yxx yx对角线展开法 x(x y)y yx(x y)(x y)x yy(x y)3 x3 y3 2(x3 y3)xyx yyx yxx y2(x y)2(x y)2(x y)x第2、3两行乘1加到第1行yx yxyx yxy1x yx110 x 第1列乘-1加到2、3列 2(x y)yxyx yy0 x yx1另解：2(x y)yx y 2(x y)(x2 xy y2)2(x3 y3)a11例例 2 2设a21a12a22a32a13a336a113a312a12a22a3210a135a23.5a33a231,求3a21a31解：解：利用行列式性质，有6a113a213a31 2a12a22a3210a13 2a115a2323a215a333a31a12a22a325a13a115a23 2(3)5a215a33a31a12a22a32a13a23a33 2(3)5130.3110513132413.例例 3 3计算D 5211解解:Dc1c2352113132 413105r2r1r45r11032141 2261708016131121312r2 r30208016111r3 4r2020081046r4 8r2001015 2713121105 240.r4502r3400001803111例例 4 4 计算D 131111311113.解解:注意到行列式的各列 4 个数之和都是 6.故把第 2，3，4 行同时加到第 1 行，可提出公因子 6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.66661111 6131111311113Dr1r2r3r4131111311113r2r1r3r161111020000200002 48.r4r1注注：仿照上述方法可得到更一般的结果：abba1a1a201bab0a2a31bbb00a31.bbaa(n1)b(a b)n1.例例 5 5 计算001解解：根据行列式的特点，可将第 1 列加至第 2 列，然后将第 2 列加至第 3 列，再将第 3 列加至第 4列，目的是使D4中的零元素增多.D4c2c1a10010a2020 a2a3100 a31a1c3c20a20200a3300 a31001a1c4c30a202ba b00a330004cda bc d4a 3b 2c d.001a 4a1a2a3.例例 6 6 计算D aa bca2a b3a 2bca3a b6a 3bc10a 6b3c d解：解：从第 4 行开始，后一行减前一行：a0D0r2r10r4r3r3rbcdaa ba bca2a b3a 2bca3a b6a 3bcca0d2a ba a4.abr4r3r3r2caad2a b2a b.0aa ba b c0a0aabr4r30aa ba bc0000例例 7 7 用克莱姆法则求解线性方程组：2x13x25x3 2 5x1 2x23x25x3 4235解解:D 120035235r1r3200120 2035r1r320 225 20,35 2005420 (2)25 20,35r1r2D1 520435225D2 150045232D3 125034r12r208510540585 085 60,4504510235418 20.34150r12r2018102354r1r2 018 由克莱姆法则,x1DD1D 1,x22 3,x33 1.DDD(1)x12x2 4x3 0例例 8 8 问为何值时,齐次方程组2x1(3)x2 x3 0有非零解?x x(1)x 02311 2431解解:D21111213411(1)3(3)4(1)2(1)(3)01(1)3 2(1)23(2)(3),齐次线性方程组有非零解，则D 0,所以 0,2或3时齐次线性方程组有非零解.x y z a bc例例 9 9 设方程组axby cz a2b2c2bcxcay abz 3abc试问a,b,c满足什么条件时,方程组有惟一解,并求出惟一解.1解解:D a1b1cbccaab0c1c2c2c30a b0b c1cc(b a)a(c b)ab1c (a b)(b c)11(a b)(b c)(c a)c ac1(ab)c2(bc)01(a b)(b c)1c aab显然,当a,b,c互不相等时,D 0,该方程组有唯一解.又a b cD1 a2b2 c23abc1b1cc1bc2cc3aa21b1caabcabccaabc1a1a a1b1c aD.bccaab同理可得D2 bD,D3 cD,于是:x DD1D a,y 2 b,z 3 c.DDD312075 24例例 1010 已知A 1579,B 5197,且A2X B,求X.246832166 4423 224112 22 2解解:X(B A)4 411.2217111 27 22223 1 2 3例例 1111 若A 1 2,B 210,求AB.312(2)3(1)322(3)3021321 231(2)(2)(1)解解:AB1 211(2)21(3)(2)02103112313(3)103(2)1(1)876033579111例例 1212 求A123的逆阵.011111解解:|A|1233 0.011A11(1)112313125,A12(1)12 1,A13(1)131,1101011111111,A23(1)23 2,A22(1)22 1,011101111111 1,A32(1)32 2,A33(1)331.132312A21(1)21A31(1)31A115,A12 1,A131,A21 2,A221,A23 1,A31 1,A32 2,A331.5 212,A逆矩阵于是A的伴随矩阵A*11111 5 21 5/3 2/31/31*121/31/32/3.A11|A|31111/31/31/3A1例例 1313设A,B,C是同阶矩阵,且 A 可逆,下列结论如果正确,试证明之,如果不正确,试举反例.(1)若AB AC,则B C;(2)若AB CB,则AC.解解:(1)正确.因为若AB AC,等式两边左乘以A1,有A1AB A1AC有EB EC即得B C.证毕.12301 1,(2)不正确.例如，设AC B 0101,1 1121 133则AB11CB 011 1301 13311011 1 显然有AB AC,但A C.1例例 1414 设矩阵A,B满足A*BA 2BA 8E,其中A 2,A*为A的的伴随矩阵，E为单位矩1阵，求矩阵B.解：解：由于|A|2 0,故A可逆，从而A*|A|A1 2A1.又A*BA 2BA8E得A*BA 2BA 8E，即(A*2E)BA 8E,11 41其中，A*2E 2A12E 21/21,显然可逆 411因此B (A*2E)1(8E)A1 8(A*2E)1A11/41214.(8)1/21/412 111.,注注:当对角矩阵A diag(a1,a2,an)可逆时,其逆矩阵A1 diagaaan12例例 1515 设方阵 A 满足方程aA2bAcE O,证明 A 为可逆矩阵,并求A1,(a,b,c为常数,c 0).证证:由aA2bA cE O，aA2bA cE，因c 0，即有：a2bA A E，亦即ccbaba1AE A E，故可逆，且A AE.Acccc0 1/20例例 1616 设三阶矩阵 A，B 满足关系：A1BA 6A BA,且A 01/40,求 B.001/7解：解：由A1BA BA 6A得(A1 E)BA 6A，即(A1 E)B 6E20010060400100070011于是B 6(A1 E)1100603000610 60010601/30020.001/6