微分几何练习题库及参考答案已修改

微微分分几几何何复复习习题题与与参参考考答答案案一、填空题一、填空题r3rrrrr1 1极限lim(3t 1)i t jk 13i 8 j kt2rrrrrtrr22 2设f(t)(sint)i t j，g(t)(t 1)i e j，求lim(f(t)g(t)02t03 3已知42r6rrrr(t)dt=1,2,3，r(t)dt=2,1,2，a 2,1,1，b 1,1,0，则442r6r rrrar(t)dt+b ar(t)dt=3,9,5.2rrrrrr4 4已知r(t)a（a为常向量），则r(t)ta crrrr1rr5 5已知r(t)ta，（a为常向量），则r(t)t2a c26.6.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和密切平面_.7.7.曲率恒等于零的曲线是_直线_.8.8.挠率恒等于零的曲线是_平面曲线_.9.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 .vrrv&310.10.曲线r r(t)在 t=2 处有，则曲线在 t=2 处的曲率 k=3.rrr11.11.若在点(u0,v0)处rurv 0，则(u0,v0)为曲面的_正常_点.rrrrrr1212 已知f(t)(2 t)j(lnt)k，g(t)(sint)i(cost)j，t 0，则drr(f g)dt 26cos4dt0r1313曲线r(t)2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et4r1414曲线r(t)acosht,asinht,at在t 0点的切向量为0,a,ar1515曲线r(t)acost,asint,bt在t 0点的切向量为0,a,b1x eez 11616设曲线C:x et,y et,z t2，当t 1时的切线方程为1e2ey 1717设曲线x etcost,y etsint,z et，当t 0时的切线方程为x 1 y z 1.18.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_.19.19.u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20.20.在欧拉公式kn k1cos2 k2sin2中，是方向(d)与 u曲线的夹角.21.21.曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2H K 0.rdr2t cost,2t cost,2vt ucostdtr2323已知r(,)acoscos,acossin,asin，其中 t，t2，则rdr(,)asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acosdtrrrrr2424设r r(u,v)为曲面的参数表示，如果rurv 0，则称参数曲面是正则的；如果rrr:G r(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面r2222已知r(u,v)uv,uv,uv，其中u t2,v sint，则2525如果u 曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网 r2626平面r(u,v)u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudvr2727悬链面r(u,v)coshucosv,coshusinv,u第一基本量是E cosh2u，F 0,G cosh2u2828曲面z axy上坐标曲线x x0，y y0的交角的余弦值是a2x0y0(1a x0)(1a y0)2222.r2929正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一基本形式是du2(u2b2)dv2r3030双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),2uv的第一基本形式是(a2b2 4v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2r3131正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的平均曲率为 03232方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)0或Ldu2 2Mdudv Ndv2 033.33.方向(d)du:dv和()u:v共轭的充要条件是rrII II(dr,r)0或Lduu M(duvdvu)Ndvv 034.34.是主曲率的充要条件是E LF MF M 0G N35.35.(d)du:dv是主方向的充要条件是dv2Edu FdvLdu Mdv 0或 EFdu GdvMdu NdvLdudvdu2FG 0MN36.36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(du:dv)是主方向，则rrdn kndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率3737旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面3838测地曲率的几何意义是曲面 S 上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于(C)在 P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率3939k,kg,kn之间的关系是k2 kg2kn24040如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 04141正交网时测地线的方程为EvGud=cossinds2E G2G Educos=Edsdvsin=Gds4242曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 .二、单项选择题二、单项选择题rr1 1已知r(t)et,t,et，则r(0)为（A）A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.rrr2 2已知r(t)r(t)，为常数，则r(t)为（C）rrrrA.ta；B.a；C.eta；D.ea.r其中a为常向量3.3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）A切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直；D副法线与固定方向垂直4.4.曲面在每一点处的主方向（A）A至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有.5 5球面上的大圆不可能是球面上的（D）A测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线.rr6.6.已知r(x,y)x,y,xy，求dr(1,2)为（D）A.dx,dy,dx2dy；B.dxdy,dxdy,0；C.dx-dy,dx+dy,0；D.dx,dy,2dxdy.r7 7圆柱螺线r cost,sin t,t的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角rrrr8 8设平面曲线C:r r(s)，s 为自然参数，,是曲线的基本向量叙述错误的是；D.有固定夹角.43（C）rrrrrrrr&；C.&k；D.A.为单位向量；B.k.9 9直线的曲率为（B）A.-1；B.0；C.1；D.2.rr1010关于平面曲线的曲率C:r r(s)不正确的是（D）rr&(s)；B.k(s)A.k(s)(s)，为(s)的旋转角；rr&(s)|.C.k(s)；D.k(s)|r1111对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（D）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.1212下列论述不正确的是（D）rrrrrrrrrA.,均为单位向量；B.；C.；D.P.1313对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.1414x a(t sint),y a(1cost),z 4asint在点t 的切线与z轴关系为（D）22A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.34x2y2z21515椭球面2221的参数表示为（C）abcA.x,y,zcoscos,cossin,sin；B.x,y,zacoscos,bcossin,sin；C.x,y,zacoscos,bcossin,csin；D.x,y,zacoscos,bsincos,csin2.r1616曲面r(u,v)2u v,u2v2,u3v3在点M(3,5,7)的切平面方程为（B）A.21x3y 5z 20 0；B.18x3y 4z 41 0；C.7x5y6z 18 0；D.18x5y3z 16 0.r1717球面r(u,v)Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu的第一基本形式为（D）A.R2(du2sin2udv2)；B.R2(du2cosh2udv2)；C.R2(du2sinh2udv2)；D.R2(du2cos2udv2).r1818正圆柱面r(u,v)Rcosv,Rsinv,u的第一基本形式为（C）A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2 R2dv2；D.du2 R2dv2.1919在第一基本形式为I I(du,dv)du2sinh2udv2的曲面上，方程为u v(v1 v v2)的曲线段的弧长为（B）Acoshv2coshv1；Bsinhv2sinh v1；Ccoshv1coshv2；Dsinhv1sinh v22020设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）AE 0；BF 0；CG 0；DM 02121高斯曲率为零的的曲面称为（A）A极小曲面；B球面；C常高斯曲率曲面；D平面2222曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）A0；B1；C2；D 32323当参数曲线构成正交网时，参数曲线 u-曲线的测地曲率为（B）A1ln E12 Eu；Bln E2 Gv；C1lnG2 Ev；D1ln E2 Gu2424如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）A 直线；B 平面曲线；C 抛物线；D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）三、判断题（正确打，错误打）1.1.向量函数rr rr(t)具有固定长度，则rr(t)rr(t).2.2.向量函数rr rr(t)具有固定方向，则rr(t)Prr(t).3.3.向量函数rr(t)关于 t 的旋转速度等于其微商的模rr(t).4.4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.5.5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.6.6.圆柱面rrRcos,Rsin,z,z 线是渐近线.7.7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.8.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9.9.等距变换一定是保角变换.10.10.保角变换一定是等距变换.11.11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.12.12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一13.13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线14.14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向15.15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量16.16.曲面上的直线一定是测地线17.17.微分方程A(u,v)du B(u,v)dv 0表示曲面上曲线族.18.18.二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudv C(u,v)dv2 0总表示曲面上两族曲线.19.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F 0，这里F是第一基本量.20.20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.21.21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.22.22.球面上的圆一定是测地线.23.23.球面上经线一定是测地线.24.24.测地曲率是曲面的内蕴量.四、计算题四、计算题1 1求旋轮线x a(t sint),y a(1cost)的0 t 2一段的弧长rr解解旋轮线r(t)a(t sint),a(1cost)的切向量为r(t)aacost,asint，则在20 t 2一段的弧长为：s 0rr(t)dt 202a 1costdt 8a2 2求曲线x tsint,y tcost,z tet在原点的切向量、主法向量、副法向量r解解由题意知r(t)sint tcost,cos t tsint,ettet，rr(t)2cos t tsint,2sin t tcost,2ettet，rr在原点，有r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)，rr r rr r rrrr(rr)r(rr)rrrrrr又r,，rr，rrrrr r rrrrr22666333,),(,),(,).所以有(0,22366333r3 3圆柱螺线为r(t)acost,asint,bt，rrr求基本向量,；求曲率 k 和挠率.rr解解r(t)asint,acost,b，r(t)acost,asint,0，rr r rr r rrrr(rr)r(rr)rrrrrr,rr又由公式r,rrrrr rrrrrr