湖北省黄冈市东山中学新城分校2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

湖北省黄冈市东山中学新城分校2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，则（   ） （A）（B）（C）（D） 参考答案： D ，所以，即，选D. 2. 已知全集U={0,1,2,3,4}，设集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，则（    ） A．{3} B． C．{1,2} D．{0} 参考答案： D ∵，，∴，且，∴， 故选D． 3. 已知集合M={1，2，3}，N ={1，2，3，4）．定义函数f：M →N．若点 ，△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有        A．6个                    B．10个                   C．12个                  D．16个 参考答案： D 略 4. 已知m、l是异面直线，有下面四个结论：    ①必存在平面α过m且与l平行；          ②必存在平面β过m且与l垂直；    ③必存在平面γ与m、l都垂直；          ④必存在平面π与m、l距离都相等．    其中正确的结论是                                                     （    ）    A．①②            B．①③            C．②③            D．①④ 参考答案： D 对于②若m、l不垂直，则满足条件的平面不存在．对于③m、l应为平行线． ①④可推出，故选D． 5. 化简的值得(   ) A. －10       B. －8       C. 10    D. 8 参考答案： D 6. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是     A．15               B．20    C． 30    D．60 参考答案： C 7. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（    ）] A.-5                 B.1                C.2                  D.3 参考答案： D 8. 已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足,,则的面积为（    ） A       B        C        D 参考答案： B 略 9. 若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　） A．y=±x B．y=±x C．y=± D．y=±x 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到． 【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为， 则=， 即有=， 则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x， 即有y=±x． 故选：C． 10. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如右图所示，则该几何体的体积为(         )． A.144               B. C．              D．64 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 向量＝(－1，2)在＝(3，4)方向上的投影等于          . 参考答案： 1 12. 已知，且为第二象限角，则的值为             . 参考答案： 13. 在区间[-9,9]上随机取一实数,函数的定义域为D，则∈D的概率为         ． 参考答案： 14. 若直线ax+by﹣1=0（a?b＞0）平分圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则+的最小值为     ． 参考答案： 3+2 考点：直线和圆的方程的应用． 专题：不等式的解法及应用；直线与圆． 分析：求出圆心坐标代入直线方程得到a，b的关系a+2b=1；将+乘以a+2b展开，利用基本不等式，检验等号能否取得，求出函数的最小值． 解答： 解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0的圆心坐标为（1，2） 因为直线平分圆，所以直线过圆心（1，2）， ∴a+2b=1， ∴+=（a+2b）（+）=3++≥3+2=3+2， 当且仅当a=b=﹣1取等号． 故答案为：3+2． 点评：本题考查直线平分圆时直线过圆心、考查利用基本不等式求函数的最值需注意：一正、二定、三相等． 15. 若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于______． 参考答案： －1 略 16. 在上任取两数，则函数有零点的概率为         ． 参考答案： D 17.  设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=2，且为实数，则|α|=      ．   参考答案： 2 解：设α=x+yi，(x，y∈R)，则|α－β|=2|y|．∴y=±．     设argα=θ，则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|，故不必写出所有可能的角)．θ=π，于是x=±1．|α|=2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点． （Ⅰ）若∥平面，求； （Ⅱ）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比． 参考答案： 解：（Ⅰ）取中点为，连结， 1分 ∵分别为中点 ∴∥∥，∴四点共面， 3分 且平面∩平面 又平面，且∥平面∴∥ 5分 ∵为的中点，∴是的中点，∴． 6分 （Ⅱ）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，∴， 又，则平面 设，又三角形是等腰三角形，所以. 如图，将几何体补成三棱柱，∴几何体的体积为： 9分 又直三棱柱体积为： 10分 故剩余的几何体棱台的体积为： 11分 ∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：． 12分 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图． （1）求∠OCM的余弦值； （2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．     参考答案： 解答： 解：（1）由题意可得，， 故cos∠OCM=cos＜，＞==． （2）设，其中1≤t≤5，，． 若， 则， 即12﹣2λt+3λ=0， 可得（2t﹣3）λ=12． 若，则λ不存在， 若，则， ∵t∈[1，）∪（，5]， 故．   略 20. 如图在直三棱柱ABC – A1B1C1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a，AA1 = 2a，D为BC的中点，E为CC1上的点，且CE = CC1    （I）求三棱锥B – AB1D的体积；    （II）求证：BE⊥平面ADB1；  （Ⅲ）求二面角B—AB1—D的大小.   参考答案： 解析：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D为BC中点 B1B=C1C=A1A=2a， ∴  ………………2分 ∵ …………4分 解法一： （Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC 从而AD⊥平面B1BCC1 又BE平面B1BCC1，所在AD⊥BE …………6分 由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得 在Rt△BB1D中， 在Rt△CBE中， 于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G ∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，则DB1⊥BE，又AD∩DB1=D 故BE⊥平面ADB1   ……………………8分 （Ⅲ）过点G作GF⊥AB1于F，连接BF 由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG是二面角B—AB-1—D的平面角   …………10分 在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，得 在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，得BG= 所以在Rt△BFG中， 故二面角B—AB—D的大小为arcsin  ………………12分 解法二： 解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A－xyz  …………2分 可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（）， B1（a，0，2a），E（0，a，） …………4分 可得   ………………6分 于是得， 可知BE⊥AD，BE⊥DB1 又AD∩DB1=D，故BE⊥平面ADB1  …………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB1的法向量，平面ABB1的法向量 于是   …………10分 故二面角B—AB1—D的大小为arccos   ………………12分 21. （本小题满分13分）   椭圆的左右焦点分别为，直线恒多椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点，已知的周长为8，点为坐标原点。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，以线段为邻边作平行四边形 其中在椭圆上，当时，求的取值范围。 参考答案： 22. （本小题满分13分） 设抛物线的焦点为F，过F且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，已知. （1）求抛物线C的方程； （2）设，过点作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使为钝角时实数m的取值范围； （3）对给定的定点，过M作直线与抛物线C相交于A,B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由. 参考答案：