湖北省鄂州市第三初级中学高二数学文月考试卷含解析

湖北省鄂州市第三初级中学高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列程序执行后输出的结果是（　　　） A．  –1         B．  0            C．  1            D． 2 参考答案： B 2. 有一批种子，每一粒发芽的概率为，播下粒种子，恰有粒发芽的概率为  A.    B.   C.  D. 参考答案： C 略 3. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（　　） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 参考答案： B 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案． 【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种， 在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32?A33=18种， 故选B． 【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解． 4. 用数学归纳法证明“42n﹣1+3n+1（n∈N*）能被13整除”的第二步中，当n=k+1时为了使用归纳假设，对42k+1+3k+2变形正确的是（　　） A．16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1 B．4×42k+9×3k C．（42k﹣1+3k+1）+15×42k﹣1+2×3k+1 D．3（42k﹣1+3k+1）﹣13×42k﹣1 参考答案： A 【考点】RG：数学归纳法． 【分析】本题考查的数学归纳法的步骤，为了使用已知结论对42k+1+3k+2进行论证，在分解的过程中一定要分析出含42k﹣1+3k+1的情况． 【解答】解：假设n=k时命题成立．即：42k﹣1+3k+1被13整除． 当n=k+1时，42k+1+3k+2=16×42k﹣1+3×3k+1=16（42k﹣1+3k+1）﹣13×3k+1． 故选：A． 【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立． 5. 设变量满足，则的最大值和最小值分别为（  ） A、2，－2         B、2，－4           C、 4，－2        D、 4，－4 参考答案： D 6. 设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是（   ） A．　　　 B．      C． 　    D． 参考答案： A 略 7. 已知，且，则的值为 （A）          （B）或          （C）          （D）或 参考答案： 【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质 【答案解析】C解析：解：因为0＜＜1，而，得，所以，则选C 【思路点拨】熟悉的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键. 8. 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A．          B．      　  C．2－          D．－1 参考答案： D 略 9. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 10. 设数列{an}满足，则an =（    ） A.           B.            C.            D. 参考答案： D ① 当n 时，  ②， ①- ②： ，故 （n ）， 当n=1时，，故选D.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题中： （1）、平行于同一直线的两个平面平行； （2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行； （4）、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。 参考答案：   解析：对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的 12. 已知命题．则是__________； 参考答案： 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　    　，表面积为　    　． 参考答案： 12,36. 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积． 【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示： 其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4． ∴棱锥的体积V=． 棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5， ∴棱锥的表面积S=32++=36． 故答案为12；36． 14. 已知椭圆，为左顶点，为短轴端点，为右焦点，且，则这个椭圆的离心率等于 。 参考答案： 略 15. 某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)～正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_________________． 参考答案： 10  略 16. 已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线相交于两点，则以AB为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是            。 参考答案： 17. 点O在△ABC内部，且满足4+5+6=，则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为　    　. 参考答案： 15：11 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】可作，从而可得到，然后以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，并连接OE，设交BC于点N，这样画出图形，根据三角形的相似便可得出，进而便可求出的值，这样即可求出的值，从而得出△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比值． 【解答】解：作，则； ∴； ∴； 以为邻边作平行四边形OAED，连接OE，交BC于N，如图所示： ； ∴； 根据三角形相似得，，； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15：11． 故答案为：15：11． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 (a>0) ． (1)若a=1，求在x∈(0，+∞)时的最大值； (2)若直线是曲线的切线，求实数a的值。 参考答案： (1)当a=1时≤，当x=1时取“=”； (2)设切点(x0，y0)，则， 则，得  ∴  ……① 又由切线，则     则：……②  由将①代入②得 若则：得  解得a=2 若则：得  解得a=    即a=2或a= 19. （本小题满分13分）已知集合.，函数，，若函数的定义域为，且， (Ⅰ)求实数的值； （Ⅱ）求关于的方程的实数解 参考答案： （Ⅰ）由题知不等式解得即为，由题意，则，解得 （Ⅱ），当时，，即，即；当时，即，无解， 20. 已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案； （Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞） .． 若a≤0，则f'（x）＜0， ∴f（x）在（0，+∞）上递减； 若a＞0，则由f'（x）＞0得：； 由f'（x）＜0得：． ∴f（x）在上递减，在递增． （Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值， ∴f'（1）=0，即a﹣1=0，解得：a=1． ∴f（x）=x﹣1﹣lnx． 由f（x）≥bx﹣2得：x﹣1﹣lnx≥bx﹣2， ∵x＞0， ∴． 令， 则 由g'（x）＞0得：x＞e2； 由g'（x）＜0得：0＜x＜e2． 所以，g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）递增． ∴， ∴． 21. 不等式证明（本小题满分10分）        设a、b、c均为实数，求证：++≥++．   参考答案： 2．证明：  ∵a、b、c均为实数． ∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；………………4分 （＋）≥≥，当b=c时等号成立； （＋）≥≥．………………6分 三个不等式相加即得++≥++，………………9分 当且仅当a=b=c时等号成立. ………………10分   22. 设函数f（x）=x2+alnx，（a＜0）． （1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值； （2）求f（x）的单调区间； （3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数． 参考答案： 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值； （2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域； （3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可 【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+， 由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为， 可得2+=，解得a=﹣3； （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=， 当a＜0时，f′（x）=， 当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）； （3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x =﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0， 问题等价于求函数F（x）的零点个数． 当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣， ①当a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减， 由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0， 由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点； ②当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减， 由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0， 极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0， 由x→+∞时，F（x）→﹣∞， 可得F（x）存在一个零点． 综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1． 【点评】本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．