湖北省荆州市洪湖博林职业高级中学高一数学理上学期期末试题含解析

湖北省荆州市洪湖博林职业高级中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如右图,一几何体的三视图：则这个几何体是（    ）                     ComA.  圆柱           B.空心圆柱       C. 圆 锥            D.圆台 参考答案： B 2. 若，则（    ） A.2               B.4                 C.        D.10 参考答案： A 3. 已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=（a＞0）．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（　　） A． B．5 C． D．2 参考答案： A 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】设投资甲商品20﹣x万元，则投资乙商品x万元（0≤x≤20），由题意，可得P+Q≥5，0≤x≤20时恒成立，化简求最值，即可得到结论． 【解答】解：设投资甲商品20﹣x万元，则投资乙商品x万元（0≤x≤20）． 利润分别为P=，Q=（a＞0） ∵P+Q≥5，0≤x≤20时恒成立 则化简得a≥，0≤x≤20时恒成立 （1）x=0时，a为一切实数； （2）0＜x≤20时，分离参数a≥，0＜x≤20时恒成立 ∴a要比右侧的最大值都要大于或等于  ∵右侧的最大值为 ∴a≥ 故选A． 　 4. 不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A. 或 B. C. D. 或 参考答案： A 不等式的解集为, 的两根为，，且， 即,解得 则不等式可化为 解得 故选A 5. 若正实数满足，则(　　). A.有最大值                                      B．有最小值 C.有最大值                             D．有最小值 参考答案： C 6. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　） A．π B．4π C．4π D．6π 参考答案： B 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积． 【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为， 所以球的半径为： =． 所以球的体积为： =4π． 故选B． 7. 点为圆的弦的中点, 则直线的方程为（　　 ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 8. 幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是(     ) A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m 参考答案： C 【考点】幂函数的图像． 【专题】计算题． 【分析】在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．在第一象限作出幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象，数形结合能求出结果． 【解答】解：在第一象限作出幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象． 在（0，1）内取同一值x0， 作直线x=x0，与各图象有交点． 则“点低指数大”， 如图，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1， ∴n＞p＞m 故选：C． 【点评】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用． 9. 已知集合M={1,2,4,8}，N={2,4,6,8}，则M∩N=（    ） A．{2,4}         B．{2,4,8}       C．{1,6}       D．{1,2,4,6,8} 参考答案： B 由，，得 故选B.   10. 若不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数恒成立问题． 【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且a≥，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logax，（0＜x＜） ∵不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立， ∴f（）≤g（） ∴3?﹣loga≤0． ∴0＜a＜1且a≥， ∴实数a的取值范围为[，1）． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足 ，则的最小值是          . 参考答案： -2 12. （3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=            ． 参考答案： 4 考点： 反函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 求出原函数的反函数，然后直接取x=2求得f﹣1（2）． 解答： 由y=f（x）=（x≥0），得x=y2（y≥0）， x，y互换得，y=x2（x≥0）． ∴f﹣1（x）=x2（x≥0）． 则f﹣1（2）=22=4． 故答案为：4． 点评： 求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域），是基础题． 13. 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）．           参考答案： 答案：（1）； （2） 14. 设函数f（x）=为奇函数，则实数a=　   　． 参考答案： -1 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）=0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值． 【解答】解：∵函数为奇函数， ∴f（x）+f（﹣x）=0， ∴f（1）+f（﹣1）=0， 即2（1+a）+0=0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 15. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为         参考答案： 16. 关于函数有以下命题：①函数的图像关于y轴对称；②当x>0时是增函数，当x<0时，是减函数；③函数的最小值为lg2;④当-11时，是增函数；⑤无最大值 ，也无最小值。其中正确的命题是：________ 参考答案： ①③④ 略 17. 不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是　　． 参考答案： （2，3） 【考点】恒过定点的直线． 【分析】直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0 即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0， 根据k的任意性可得， 解得， ∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）． 故答案为：（2，3）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的周长为，且 （Ⅰ）求边c的长； （Ⅱ）若△ABC的面积为，求cosC的值． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求；（Ⅱ）根据三角形面积公式得的值，再根据余弦定理求结果. 【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得, 因为周长为，所以 （Ⅱ）因为的面积为，所以， 所以 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 19. （16分）已知函数f（x）=lg，其定义域为[﹣9，9]，且在定义域上是奇函数，a∈R （1）求a的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； （3）若函数g（x）=|f（x）+1|﹣m有两个零点，求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 对数函数的图像与性质；函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）由奇函数的定义，得f（﹣x）=﹣f（x），求出a的值； （2）函数单调性的定义，判断并证明f（x）在定义域上的单调性即可； （3）考查函数y=|f（x）+1|的图象与性质，得出g（x）=|f（x）+1|﹣m有两个零点， 即关于x的方程|f（x）+1|=m有两个互异实根，?求出满足条件的m的取值范围即可． 解答： （1）因为函数f（x）=lg是定义域为[﹣9，9]上的奇函数， 所以f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg，…（2分） 所以=， 即a2﹣x2=100﹣x2，则a2=100， 得a=10或a=﹣10； 当a=﹣10时，f（x）=lg（﹣1）无意义， 所以a=10；…（4分） （注：若用f（0）=0解得a=10，未加以代入检验扣2分） （2）由（1）知函数f（x）=lg，该函数是定义域上的减函数；…（5分） 证明：设x1、x2为区间[﹣9，9]上的任意两个值，且x1＜x2， 则x2﹣x1＞0，…（6分） f（x1）﹣f（x2）=lg﹣lg =lg；…（8分） 因为[100﹣x1x2+10（x2﹣x1）]﹣[100﹣x1x2+10（x1﹣x2）]=20（x2﹣x1）＞0， 所以100﹣x1x2+10（x2﹣x1）＞100﹣x1x2+10（x1﹣x2）， 又因为100﹣x1x2+10（x1﹣x2）=（10+x1）（10﹣x2）＞0， 所以100﹣x1x2+10（x2﹣x1）＞100﹣x1x2+10（x1﹣x2）＞0； 则＞1， lg＞0， 所以f（x1）＞f（x2）； 所以函数f（x）=lg是定义域上的减函数；    …（10分） （3）|f（x）+1|=， 要使g（x）=|f（x）+1|﹣m有两个零点， 即关于x的方程|f（x）+1|=m 有两个互异实根，…（11分） ?当﹣9≤x≤时， y=|f（x）+1|=lg+1在区间[﹣9，]上单调减， 所以函数y=|f（x）+1|的值域为[0，1+lg19]；…（13分） ?当≤x≤9时， y=|f（x）+1|=﹣lg﹣1在区间[，9]上单调增， 所以函数y=|f（x）+1|的值域为[0，﹣1+lg19]；…（15分） 所以实数m的取值范围为（0，﹣1+lg19]．…（16分） 点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了对数函数、分段函数的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目． 20. (本小题满分12分) 已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x. (1)求f(x)； (2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值． 参考答案： (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1可知c＝1. 而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b. 由已知f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.因而a＝1，b＝－1. 故f(x)＝x2－x＋1. (2)∵f(x)＝x2－x＋1＝2＋，