湖北省荆州市东方中学2023年高一数学理下学期期末试卷含解析

湖北省荆州市东方中学2023年高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （4分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（） A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （e，+∞） 参考答案： B 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数零点的判断条件，即可得到结论． 解答： ∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0， ∴f（2）f（3）＜0， 在区间（2，3）内函数f（x）存在零点， 故选：B 点评： 本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A．sin（α+β）＜sinα+sinβ B．sin（α+β）＞sinα+sinβ C．cos（α+β）＜sinα+sinβ D．cos（α+β）＞cosα+cosβ 参考答案： A 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】根据两角和的正弦、余弦公式即可得到结论． 【解答】解：∵已知，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， ∴0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1， ∴sin（α+β）＜sinα+sinβ成立，故A正确． 由于sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ， 故B不正确． 由于cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它小于sinα+sinβ， 故C错误． 由于cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ， 故D错误． 故选：A． 3. 已知集合U＝{1,3, 5,7,9},A={1,5,7},则A＝                  (  ） A．{1,3}        B．{3, 7, 9}       C．{3, 5,9}          D．{3,9} 参考答案： D 略 4. 已知数列{an}中，前n项和为Sn，且点在直线上，则=（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：点在一次函数上的图象上，，数列为等差数列，其中首项为，公差为，，数列的前项和，，．故选D． 考点：1、等差数列；2、数列求和． 5. 函数的图象与直线的交点个数为（     ） （A）3 （B）4 （C）7 （D）8 参考答案： C 【知识点】数量积的定义 【试题解析】因为由图像可知共7个交点 故答案为：C   6. 已知a=，b=lo，c=log2，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 参考答案： A 【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论． 【解答】解：a==＞1，b=lo∈（0，1），c=log2＜0， ∴a＞b＞c． 故选：A． 7. 下列各式正确的是(    ) 参考答案： C 略 8. 函数在区间上的零点之和是（ ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由结合正切函数的性质求出函数的零点即可得出答案。 【详解】由得，即 所以，即 又因为 所以当时 ，时 函数在区间上的零点之和是 故选B 【点睛】本题主要考查正切函数的性质，属于简单题。 9. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　） A．1 B． C． D．2 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】开放型；空间位置关系与距离． 【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案 【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直， 底面为正方形如图： 其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD=，PD==． PC== 该几何体最长棱的棱长为： 故选：C． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键 10. 若P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　） A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0 参考答案： A 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆的圆心和半径，由弦的性质可得CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣24=0即（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心，以5为半径的圆． 由于P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，故有CP⊥AB， CP的斜率为=﹣1，故AB的斜率为1，由点斜式求得直线AB的方程为y+1=x﹣2， 即 x﹣y﹣3=0， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是          ． 参考答案： 3 设铜球的半径为R，则，得R=3，故答案为3.   12. （5分）=          ． 参考答案： 6 考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 专题： 计算题． 分析： 将根式转化为分数指数幂，再由指数的运算法则统一成底数为2和3的指数幂形式，求解即可． 解答： ===6 故答案为：6 点评： 本题考查根式和分数指数幂的关系、指数的运算法则，考查运算能力． 13. 设、、表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是        1         若∥，且，则； 2         若∥，且∥，则∥； 3         若，则∥∥； 4         若，且∥,则∥. 参考答案： ①④ 14. 在△ABC中，，D是AC上一点，，且，则          ． 参考答案： －4 △ABC中，∵cosC=，cos∠DBC=， ∴sinC=，sin∠DBC=， ∵∠BDC=π﹣C﹣∠DBC， ∴∠BDA=C+∠DBC， ∴cos∠BDA=cos（C+∠DBC ）=cosC?cos∠DBC﹣sinC?sin∠DBC =×﹣=， ∴∠BDA=． 设DC=x，BC=a， 在△BDC中，由正弦定理得， ∴a=， 在△ABC中，AC=3x，BC=，AB=2， ∴cosC==，解得x=1，∴AD=2，CB=， ∴=2??cos（π﹣C）=2?（﹣cosC）=﹣2?=﹣4． 故填－4.   15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C等于_____. 参考答案： 【分析】 根据三角形正弦定理得到结果. 【详解】根据三角形中的正弦定理得到 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形的正弦定理的应用，属于基础题. 16. 若关于x的方程有三个不等的实数解，则实数的值是___________. 参考答案： 1 略 17. 若,则               . 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图,是边长为2的正三角形. 若平面, 平面平面, ,且 （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面平面。 参考答案： 证明:(1) 取的中点,连接、, 因为，且 ……2分 所以,,.     ……3分 又因为平面⊥平面, 所以平面                         所以∥，                    ………4分 又因为平面,平面，   ………5分 所以∥平面.                  …………6分 (2)由(1)已证∥,又,, 所以四边形是平行四边形,           所以∥.                               ……………8分 由（1）已证，又因为平面⊥平面, 所以平面,                     所以平面 .               又平面,所以 .   ........10分      因为,, 所以平面 .               因为平面, 所以平面⊥平面 .              …12分 略 19. 设函数f（x）=ln（2x﹣m）的定义域为集合A，函数g（x）=﹣的定义域为集合B． （Ⅰ）若B?A，求实数m的取值范围； （Ⅱ）若A∩B=?，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算． 【分析】（Ⅰ）分别求出集合A、B，根据B?A，求出m的范围即可； （Ⅱ）根据A∩B=?，得到关于m的不等式，求出m的范围即可． 【解答】解：由题意得：A={x|x＞}，B={x|1＜x≤3}， （Ⅰ）若B?A，则≤1，即m≤2， 故实数m的范围是（﹣∞，2]； （Ⅱ）若A∩B=?，则≥3， 故实数m的范围是[6，+∞）． 20. （本小题满分12分）计算： （1）计算； （2）已知，求． 参考答案： （1）原式＝； （2）因为，所以， 又因为，所以，所以. 21. 已知,． （1）求以及的值；（2）当 为何值时，与平行？ 参考答案： 解：（1），                         3分 ；                          6分 （2），                                  8分 当时，，                 10分 得．                                                12分 略 22. 已知函数f（x）满足f（）=x+． （1）求函数的解析式； （2）判断函数f（x）在区间（，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）利用换元法进行求解即可． （2）利用函数单调性的定义进行证明即可． 【解答】解：（1）设t=，则x=2t， 即f（t）=2t+， 即f（x）=2（x+），x≠0． （2）函数在（，1）上为减函数，则（1，+∞）为增函数， 对任意的1＜x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=2（x1+﹣x2﹣）=2（x1﹣x2）?， ∵1＜x1＜x2， ∴x1x2＞1，则x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴函数在区间（1，+∞）上是单调递增函数． 同理函数在（，1）上为减函数． 【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的证明，利用定义法和换元法是解决本题的关键．