湖北省荆州市监利县长江高级中学2022年高三数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市监利县长江高级中学2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，则（    ）     A.              B.            C.            D. 参考答案： B 略 2. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是 参考答案： C 3. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． 【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B， 由当x=时，， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选D． 【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 4. 在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：   且最后发现，两个分类变量X和y没有任何关系，则m的可能值是   A．200             B．720            C．100                D．180 参考答案： B 5. 已知集合，，则A∪B=（   ） A．[－2,+∞) B．[－2,3] C．(－1,+∞) D．(－∞,－2] ∪(－1,3] 参考答案： A ∵A={x|x≥﹣2}，； ∴A∪B=[﹣2，+∞）． 故选：A．   6. 已知直线与直线平行，则的值是（     ） A．  1       B． -1      C． 2      D．-2 参考答案： D 因为直线ax+y﹣1﹣a=0与直线x﹣y=0平行， 所以必有﹣a=2，解得a=﹣2．故选D 【考查方向】本题考查两条直线平行的判定，是基础题． 【易错点】两直线平行条件的应用（整式条件） 【解题思路】两条直线平行倾斜角相等，即可求a的值． 7. 已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： B 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e． 【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q， 则丨OP丨=丨OQ丨， ∴四边形PFQF1为平行四边， 则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨， 由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a， ∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c， ∴∠OPF1=90°， 在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a， ∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2， 则双曲线的离心率e===， 故选B． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题． 8. 如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（    ） A.            B. C. 9               D.6 参考答案： C 9. 命题：的否定是                                                                                        （    ）          A．                              B．          C．                                D． 参考答案： D 略 10. 下列命题中，真命题是（　　） A．“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”必要条件 B．“?=0”是“⊥”充要条件 C．?x∈R，x2+≥1 D．?x∈R，cosx+sinx＞2 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断， B．根据向量垂直的等价条件进行判断， C．根据基本不等式的性质进行判断， D．根据三角函数的辅助角公式，结合三角函数的有界性进行判断． 【解答】解：A．由x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜1，则“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”充分不必要条件，故A错误， B．若⊥，则?=0成立， 当==时，满足?=0，但⊥不成立，故B错误， C．x2+=x2+1+﹣1≥2﹣1=2﹣1=1， 当且仅当x2+1=，即x2+1=1，即x=0时取等号，故?x∈R，x2+≥1为真命题． D．cosx+sinx=sin（x+）∈[﹣，]， 而2?[﹣，]，故?x∈R，cosx+sinx＞2错误，故D错误， 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设（为虚数单位），则复数的模为     ▲    参考答案： 5 12. 复数________. 参考答案： . 试题分析：. 考点：复数的计算. 13. 已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则 cosDBAC的值为       ． 参考答案： ∵H是△ABC的垂心， ∴AH⊥BC，BH⊥AC， ∵， ∴ 则， ， 即，， 化简得：， 则，得，从而． 14. 若x，y满足约束条件则的最小值为          ． 参考答案： －2 由x，y满足约束条件,作出可行域如图: 联立，解得B（0，1）． 化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z， 由图可知，当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：0﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2．   15. 已知函数的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则       参考答案： 4030 【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．C3 C6 解析：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A?+1 =cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2． 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得 cos（2φ）+1+1=2， ∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为 f（x）=cos（x+）+2=﹣sinx+2， ∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣（sin+sin+sin+…+sin+sin）+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030，故答案为：4030． 【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值． 16. 在不等式组所表示的平面区域内,求点（）落在∈[1，2]区域内的概率是        ． 参考答案： 17. 已知是等差数列，且，，则公差=______________。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3， D为AC的中点. (1)求证：AB1//面BDC1； (2）求二面角C1—BD—C的余弦值； (3）在侧棱AA-1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论. 参考答案： 略 解析：解：（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD        ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点. 又D是AC的中点，∴OD//AB1.………………………2分 ∵AB-1面BDC-1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分    （II）解：如图，建立空间直角坐标系，则          C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），          D（1，3，0）……………………5分          设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则 即.…………………………………………6分 易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量. .……………………………8分 ∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………………………………………9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.则∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.……………………………14分   略 19. 已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn． 参考答案： （I）设等比数列{an}的公比为q， ∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1， ∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2 ∴=2，.......................................3 ∴=2n﹣1，（n∈N*）．......................5 （Ⅱ）∵ ∴（2n﹣1+2n﹣1） =[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）..................................6 =+......................................10 =n2+2n﹣1．............................12 20. 已知抛物线C：y=x2．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P． （Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|； （Ⅱ）求△PAB面积的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，求出方程的根，即可求|AB|； （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，利用韦达定理，结合弦长公式求出|AB|，求出P的坐标，可求点P到直线l的距离，即可求△PAB面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，可得x2﹣x﹣1=0， 解得，x1=，x2=． 所以|AB|=|﹣|=．       …（6分） （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，设点A（x1，y1），B（x2，y2）． 由y=k（x﹣1）+2代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0， 于是x1+x2=k，x1x2=k﹣2， 又因为y′=（x2）′=2x， 所以，抛物线y=x2在点A，B处的切线方程分别为：y=2x1x﹣x12，y=2x2x﹣x22． 得两切线的交点P（，k﹣2）． 所以点P到直线l的距离