湖北省荆州市育苗学校2023年高一数学理月考试题含解析

湖北省荆州市育苗学校2023年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列选项中，存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）的函数是（　　） A．y=ex B．y=lnx C．y=x2 D．y= 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域． 【分析】由自变量与对应的函数值不相等判断A，B，D不合题意；举例说明C正确． 【解答】解：函数y=ex在定义域内为增函数，而ex＞x恒成立，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）； 函数y=lnx在定义域内为增函数，而x＞lnx恒成立，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）； 当m=0时，y=x2的定义域和值域都是（m，+∞），符合题意； 对于，由，得x2=﹣1，方程无解，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，体现了数学转化思想方法，是中档题． 　 2. 方程=lgx的根的个数是　(　　) A.0    B.1          C.2        D.无法确定 参考答案： B 3. 已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（    ） A. sin2 B. 2sin2 C. sin1 D. 2sin1 参考答案： D 【分析】 由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解． 【详解】，如图，设是中点，则，，，∴． 故选D． 【点睛】本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解． 4. 已知函数满足，则的最小值是（      ）    A． 2       B．        C． 3         D ．4 参考答案： B 5. 已知函数,若存在实数,使的定义域为 时,值域为,则实数的取值范围是                         (     )    A.    B.       C. 且    D. 参考答案： B 略 6. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则；③若a>b，c>d，则；  ④a>b，则>其中正确的有（     ） A．1个      B．2个      C．3个   D．4个     参考答案： B 略 7. 根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（　　） x ﹣1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系． 【专题】计算题． 【分析】令f（x）=ex﹣x﹣2，方程ex﹣x﹣2=0的根即函数f（x）=ex﹣x﹣2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知， 方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为 （1，2）． 【解答】解：令f（x）=ex﹣x﹣2，由图表知，f（1）=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f（2）=7.39﹣4=3.39＞0， 方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为  （1，2）， 故选 C． 【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件． 8. 等差数列,的前项和分别为,,若,则=（    ） A．         B．        C．       D． 参考答案： B  解析： 9. 函数和都是减函数的区间是（  ） A．          B． C.          D． 参考答案： A 10. 在△ABC中，已知，那么△ABC一定是（  ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 参考答案： B 【分析】 先化简sin Acos B＝sin C=，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B＝sin C得 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π）， 所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=, 所以三角形是直角三角形. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 满足条件的集合M有          个． 参考答案： 8 由题意可得M中必含有元素1和2,也就是至少两个元素，所以两个元素集{1,2},三个元素集{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}，四个元素集{1,2,3,4}、{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，五个元素集{1，2，3，4，5，}，共8个。   12. 设集合，，若A，B相等，则实数a=______． 参考答案： 1 【分析】 利用集合相等,列方程组求出的值,再代入检验即可． 【详解】由集合相等的概念得 解方程组可得, 经检验此时,,满足 所以 故答案为：1 【点睛】本题考查了集合相等的概念,注意要将所得参数代入原集合检验,避免出现与集合的互异性相悖的情况,属于基础题. 13. 函数过定点______________. 参考答案： 略 14. 半径为2，圆心为300°的圆弧的长为　　． 参考答案： 【考点】G7：弧长公式． 【分析】利用弧长公式即可得出． 【解答】解：300°=弧度． ∴半径为2，圆心为300°的圆弧的长=×2=． 故答案为：． 15. sin（﹣300°）=　　． 参考答案： 【考点】诱导公式的作用． 【分析】由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之． 【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=， 故答案为． 【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值． 16. 已知角的终边上一点，则         ． 参考答案： 17. 两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=　　． 参考答案： 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】利用等差数列{an}和{bn}的前n项和的性质可得： =，即可得出． 【解答】解：∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若， ∴===． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程． 参考答案： 【考点】J8：直线与圆相交的性质． 【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点A（4，0）的中垂线x=2上，再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上，可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值，从而得到所求的圆的方程． 【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点A（4，0）的中垂线x=2上， 再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上，可得圆心C的坐标为（2，﹣1），故半径r=|OC|=， 故所求的圆的方程为 （x﹣2）2+（y+1）2=5． 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA＝PC，E为PB的中点．    （1）求证：PD∥平面AEC； （2）求证：平面AEC⊥平面PDB．   参考答案： 略 20. 在凸四边形ABCD中，． （1）若， ， ，求sinB的大小． （2）若，且，求四边形ABCD的面积． 参考答案： (1) ；(2) 【分析】 （1）在中利用余弦定理可求得，从而可知，求得；在中利用正弦定理求得结果；（2）在中利用余弦定理和可表示出；在中利用余弦定理可得，从而构造出关于的方程，结合和为锐角可求得；根据化简求值可得到结果. 【详解】（1）连接 在中，，， 由余弦定理得：        ，则 在中，由正弦定理得：，解得： （2）连接 在中，由余弦定理得： 又    在中，由余弦定理得： ，即 又    为锐角        ， 则四边形面积： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用；关键是能够利用余弦定理构造出关于角的正余弦值的方程，结合同角三角函数的平方关系构造方程可求得三角函数值；易错点是忽略角的范围，造成求解错误. 21. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域； （3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围． 参考答案： 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式． （2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域． （3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围． 【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2， =π， ∴ω=2． ∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ω=， ∴f（x）=2sin（2x+）． （2）∵x∈[﹣，0]， ∴2x+∈[﹣，]， ∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]． （3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位， 得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+）， ∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z， 可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z， ∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数， ∴， ∴解得：，k∈Z， ∵0＜θ＜， ∴当k=0时，θ∈[，]． 22. (本小题满分12分)已知函数，且. (1)求函数f(x)在(－∞,0)上的单调区间，并给出证明； (2)设关于x的方程的两根为，，试问是否存在实数m，使得不等式对任意的及恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案： 解：(1)∵， ∴，∴ 任取，且 则 1°当时，，∴，又 ∴，∴，∴在上单调递增 2°当时，，∴，又 ∴，∴，∴在上单调递减 ∴在上的单调递增区间为，单调递减区间为 ……………………………………………………………………………………………6分 (2)∵， ∴，， 又，∴                              故只须当，使恒成立，记 只须： ∴ ∴ ∴或 故存在实数符合题意，其取值范围是…………………………12分