湖北省荆门市宏图学校高三数学理期末试卷含解析

湖北省荆门市宏图学校高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知恒成立的x的取值范围是          A．                         B．                        C．                         D． 参考答案： C ，所以要使不等式恒成立，则有恒成立，即，所以，因为，所以， 即，所以使不等式恒成立的的取值范围是，选C. 2. 在复平面内，已知复数z=，则z在复平面上对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案． 【解答】解：∵z==， ∴z在复平面上对应的点的坐标为（），在第二象限． 故选：B． 　 3. 将函数f（x）=的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象关于x=对称，则|φ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值． 【解答】解：将函数f（x）=的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+φ]= sin（2x++φ）的图象； 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x++φ）的图象． 根据所得图象关于x=对称，可得+φ=kπ+，即 φ=kπ﹣， 故|φ|的最小值为， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 4. 设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是 A．    B．    C．     D．  参考答案： D 略 5. （5分）已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（　　） 　 A． B． C． D． 3 参考答案： B 【考点】： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【专题】： 计算题；压轴题． 【分析】： 先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率． 解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0）， ∴c=2，a2=4﹣1=3， ∴e=． 故选B． 【点评】： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解． 6. 已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的值为（   ）     A．   B．   C．  D． 参考答案： D 略 7. 已知直线l1与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且AB中点M的横坐标为b，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k==，化简得a2=bc，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（b，yM）， 由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k==， 化简得a2=bc， 即a4=（c2﹣a2）c2，有e4﹣e2﹣1=0，得e=． 故选B． 8. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，O为面A1C1的中心，则异面直线OE与A1D所成角的正切值等于                                                                   （    ）        A．                         B．                       C．                       D．2 参考答案： B 略 9. 已知是实数,其中为虚数单位,则实数等于 A.1                  B.                C.               D. 参考答案： A 10. 如图：二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（　　）                                                            A.        B.            C.              D.                  参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线与双曲线的渐近线没有公共点， 则双曲线离心率的取值范围为            . 参考答案： (1,3) 12. 已知，则=________ ． 参考答案： 13. 设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________. 参考答案： 【分析】 由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y＝g（x），设F（x）＝f（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F（x）的单调性和最值，从而可判断出的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标． 【详解】解：由题意得，f′（x），f（x0）（x＞0）， 即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞）， 所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为： y﹣（）＝（）（x﹣x0）， 则g（x）＝（）（x﹣x0）+（）， 设F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]， 则F（x0）＝0， 所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（） 当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减， ∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时， 当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减； ∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时， ∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”． 若x0＝e，0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数， 当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0， 故， 即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”， 综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标， 又f（e），所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 14. 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表： x －1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1   f(x)的导函数y＝f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）命题：     ①函数f(x)是周期函数；         ②函数f(x)在[O，2]是减函数；       ③如果当x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值 为4；     ④函数y=f(x)-a的零点个数可能为O、1、2、3、4个．     其中正确命题的序号是                 。 参考答案： 15. 若log2a≤1，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （0，2] 【考点】指、对数不等式的解法． 【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用． 【分析】根据对数函数的性质转化为解不等式即可． 【解答】解：∵底数为2大于1，是增函数，由log2a≤1， 可得log2a≤log22 ∴a≤2． 真数要大于0，即a＞0． 所以a的取值范围是：0＜a≤2． 故答案为（0，2]． 【点评】本题考查了对数函数的基本性质的运算．属于基础题． 16. 给出下列命题中             ①向量的夹角为；          ②为锐角的充要条件；          ③将函数的图象按向量平移，得到的图象对应的函数表达式为；          ④若为等腰三角形；          以上命题正确的是        （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 参考答案： ③④ 17. 某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每大能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为________元. 参考答案： 设甲种设备需要租赁生产天，乙种设备需要租赁生产天，该车间所需租赁费为元，则，且，满足关系为作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线，的交点时，目标函数取得最小值元，即最少租赁费用为元. 试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合思想. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表： 第一段生产的半成品质量指标x x≤74或x＞86 74＜x≤78或82＜x≤86 78＜x≤82 第二段生产的成品为一等品概率 0.2 0.4 0.6 第二段生产的成品为二等品概率 0.3 0.3 0.3 第二段生产的成品为三等品概率 0.5 0.3 0.1 从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图： 若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、－100元． （1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值； （2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润； （3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由． （参考数据：，， ）， 参考答案： （1）；（2）万元；（3）见解析． （1）平均值为：． （2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或， 或， ， 设生产一件产品的利润为元，则 ， ， ， 所以生产一件成品的平均利润是元， 所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元． （3），，，， 设引入该设备后生产一件成品利润为元，则 ， ， ， 所以引入该设备后生产一件成品平均利润为 元， 所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元， 增加收入万元， 综上，应该引入该设备． 19. 设数列{an}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在，使得、、成等比数列，则称函数{an}为“型”数列. （1）若{an}是“型”数列，且，，求的值； （2）若{an}是“型”数列，且，，求{an}的前n项和Sn； （3）若{an}既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列{an}是等比数列. 参考答案： (1)2；(2) (3)见证明 【分析】 （1）根据已知是“型”数列，即成