湖北省荆门市京山县实验高级中学2022年高二数学文期末试卷含解析

湖北省荆门市京山县实验高级中学2022年高二数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（    ） A. 77种 B. 144种 C. 35种 D. 72种 参考答案： A 【分析】 根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1) 只选一名老队员;(2) 没有选老队员,分类计数再相加可得. 【详解】按照老队员的人数分两类: (1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42; (2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有, 所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种. 故选A. 【点睛】本题考查了分类计数原理,属基础题. 2. 已知数列{an}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则an=(     ) A．（1﹣） B．（1﹣） C．（1﹣） D．（1﹣） 参考答案： A 【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列． 【分析】因为数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（an﹣an﹣1），…，此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项． 【解答】解：由题意an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）= 故选：A． 【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题． 3. 圆心在曲线 上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（  ） A．　　　　　　　B． C．    　　　 D． 参考答案： A 4. 下列说法错误的是（　　） A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断， B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断， C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断， D．根据面面垂直的性质进行判断． 【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确， B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误， C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误， D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面，之间平行和垂直的位置关系的应用，根据相应的判定定理是解决本题的关键． 5. 曲线y=﹣x3+3x2在点（2，4）处的切线方程为（　　） A．x=4 B．y=4 C．x=2 D．y=2x 参考答案： B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=2处的值即为切线的斜率，曲线又过点（2，4），即可求出切线方程． 【解答】解：∵曲线y=﹣x3+3x2， ∴y′=﹣3x2+6x， ∴切线方程的斜率为：k=y′|x=2=0， 又∵曲线y=﹣x3+3x2过点（2，4） ∴切线方程为：y=4， 故选：B． 6. 如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（   ） A.        B.      C.        D. 参考答案： B 略 7. 函数R）是 （A）周期为的奇函数            （B）周期为的偶函数 （C）周期为的奇函数             （D）周期为的偶函数 参考答案： B 8. 在△ABC中，AB=AC=10cm, BC=12cm, PA⊥平面ABC，PA = 8cm, 则点P到边BC的 1,3,5   距离为                                                            （                                    ）     A．10 cm          B．13 cm          C．cm        D． cm 参考答案： C 略 9. 命题“，”的否定是（    ） A．，            B．， C．，              D．， 参考答案： B 10. 已知函数则的值为（   ） A.      B.4      C.2    D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在四面体中，则二面角的大小为__________. 参考答案： 60° 略 12. 在区间内随机地抽取两个数，则两数之和小于的概率为         参考答案： 13. 观察下列等式                           1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律，第个等式为                 . 参考答案： 14. 已知，则的最小值为             ． 参考答案： 9 15. 若△ABC的内角A、B、C的对边分别是，且，则cosB等于            参考答案： 16. 在直角坐标系xOy中，设P为两动圆 的一个交点，记动点P的轨迹为C．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于x轴对称； ③设点，则有． 其中，所有正确的结论序号是__________. 参考答案： ②③ 17. 由三个数字 、、 组成的  位数中, 、、 都至少出现  次, 这样的  位数共有 ______ 参考答案： 解析：在  位数中, 若  只出现  次，有  个； 若  只出现  次，有  个； 若  只出现  次，有  个． 则这样的五位数共有  个． 故 个． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，数列发生器产生数列{xn}． （1）若定义函数f（x）=，且输入x0=，请写出数列{xn}的所有项； （2）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=﹣1，求数列{xn}的通项公式． 参考答案： 【考点】程序框图． 【分析】（1）函数f（x）=的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），由此能推导出数列{xn}只有三项x1=，x2=，x3=﹣1． （2）f（x）=2x+3的定义域为R，若x0=﹣1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式． 【解答】解：（1）函数f（x）=的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），… 把x0=代入可得x1=，把x1=代入可得x2=，把x2=代入可得x3=﹣1， 因为x3=﹣1?D， 所以数列{xn}只有三项：x1=，x2=，x3=﹣1．… （2）f（x）=2x+3的定义域为R，… 若x0=﹣1，则x1=1， 则xn+1=f（xn）=2xn+3， 所以xn+1+3=2（xn+3），… 所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以xn+3=4?2n﹣1=2n+1， 所以xn=2n+1﹣3， 即数列{xn}的通项公式xn=2n+1﹣3．                    … 19. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． （Ⅰ）求乙获胜的概率； （Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 参考答案： 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；概率的基本性质． 【分析】（Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求． （Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求． 【解答】解：（Ⅰ）∵乙第一次投球获胜的概率等于 =，乙第二次投球获胜的概率等于??=，乙第三次投球获胜的概率等于=， 故 乙获胜的概率等于 ++=． （Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了． 故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于  +×=． 20. 对某校2015届高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加体育活动的次数．根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图： （Ⅰ）求a的值，并根据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数（精确到个位数）； （Ⅱ）在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人，记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25，由此能求出a的值，据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数． II）根据题意ξ可能取值为0，1，2．由此能求出ξ的分布列和Eξ． 解答： 解：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25， ∴=0.25，∴M=40，即频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4， ∴p==0.10，∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a==0.12． 下面找面积平分线，解得中位数为15+=17≈17． （II）根据题意ξ可能取值为0，1，2． P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ）==， ξ 0 1 2 P ∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×=． 点评：本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 21. 数列{an}中，，，且满足. （1）求数列{an}的通项公式；  （2）设，求. 参考答案： 略 22. 本小题满分12分）已知函数。    （1）若方程在上有解，求的取值范围；    （2）在中，分别是所对的边，当（1）中的取最大值，且时，求的最小值。 参考答案： 解：（1），在内有解…3       …5    （2），     或                     ……7     ，当且仅当时有最大值1。    ……9     ，……………10       有最小值1，此时 …………………12