湖北省荆州市石首沙岭子中学高三数学文测试题含解析

湖北省荆州市石首沙岭子中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 参考答案： A 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案． 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由余弦定理得， |AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab， 又∵ab≤（） 2， ∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2 得到|AB|≥（a+b）． 所以≤=，即的最大值为． 故选：A 【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题． 2. 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（   ）． （A）                         （B） （C）                         （D） 参考答案： A 试题分析：现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有4种结果（红，红）（红，白）（白，红）（白，白），记“取出的两个球同色”为事件A，则A包含的结果有（白，白）（红，红）2种结果 由古典概率的计算公式可得P（A）= 考点：等可能事件的概率 3. 若a∈[1，6]，则函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【分析】求出函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率． 【解答】解：∵函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增， ∴≤2， ∵a∈[1，6]， ∴a∈[1，4]， ∴函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是=， 故选C． 4. 设全集U=R，A=，则右图中阴 影部分表示的集合为 (     )              A.   B.   C.    D. 参考答案： B 5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 3              B. 5                 C. 7                D. 9 参考答案： B 6. 已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则k的取值范围是(     ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果. 【详解】关于直线对称的直线方程为： 原题等价于与有且仅有四个不同的交点 由可知，直线恒过点 当时， 在上单调递减；在上单调递增 由此可得图象如下图所示： 其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为 由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点 设，，则，解得： 设，，则，解得： ，则 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 7. 为欢庆元旦，某校高三年级一班、二班于12月30日在本 班同时举办元旦文艺晚会，现有6名任课教师全部分配到 这两班和同学们一起联欢，且每班最多安排4名教师，则 不同的安排方法有     A．50种        B．70种    C．35种        D．55种 参考答案： A 略 8. 设是公差为正数的等差数列，若等于（    ） A．120 B．105 C．90 D．75 参考答案： B 9. 以下命题正确的是（   ） （A）当从1，2，3，4，5中任取两个数和为偶数时，则所取这两个数分别为偶数的概率为 （B）线性相关的两个变量的回归方程为，则变量成正相关，相关系数为 （C）“若，则或”的逆命题为假命题 （D）复数，则 参考答案： A 10. 复数满足（其中为虚数单位），则=        A．    B．    C．     D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若直线是曲线的切线，则的值为            . 参考答案： 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.网版权所有B12  【答案解析】或 解析：由y=x3﹣3x2+ax﹣1，得：y′=3x2﹣6x+a． 设直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1切于（）， 又=，所以，① 由（）在直线y=x上， ∴② 由①得，③ 把③代入②得： 整理得：，即， 所以，x0=1或． 当x0=1时，a=1+6×1﹣3×12=4． 当时，a==． 所以a的值为4或． 故答案为4或． 【思路点拨】设出直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1的切点，求出曲线在切点处的导数值，由导数值等于1列一个关于切点横坐标和a的方程，再由切点在直线y=x上得另一方程，两个方程联立可求a的值． 12. 已知三点在球心为，半径为3的球面上，且几何体为正四面体，那么两点的球面距离为__________；点到平面的距离为__________ . 参考答案： 答案：； 13. 若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则        ． 参考答案： 解法1 ，则所以，所以 解析2 ，而 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时,，则不等式的解集是             ； 参考答案： 略 15. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破     坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）频率分布直方图中 间的矩形的高为     （2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率为       参考答案： 16. 已知x∈N*，f(x)= ，其值域记为集合D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D的元素是__ _______．(写出所有可能的数值) 参考答案： ．-26，14，65 17. O为原点，C为圆的圆心，且圆上有一点满足则            .    参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，等腰梯形ABCD中,E,F为CD的三等分点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D 到达点P的位置，且PE与平面ABCE所成角的正切值为． （1）证明:平面PCE⊥平面PAE； （2）求二面角的余弦值． 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）根据折叠前后关系可得再根据线面垂直判定定理可得，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）作，垂足为O，则易得平面，过O作，交于G.以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积解得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】 （1）证明：依题意得， 所以， 因为，所以平面平面． （2）假设，由（1）过P作，垂足为O，则平面， 过O作，交于G. 以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，     则       设平面的法向量为， 则  即 令，得为平面的一个法向量. 同理可得平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为． 【点睛】本题考查空间直线、平面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想． 19. （本小题满分12分）    已知函数R，是函数的一个零点.   （1）求的值，并求函数的单调递增区间；   （2）若，且，，求的值. 参考答案： （1），Z；（2）． 试题分析：（1）由是函数的一个零点得，代入，用辅助角公式化简，得 ，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用求出和的值，进而展开，代入数值． 试题解析：（1）解：∵是函数的一个零点， ∴ .           …………………………………………1分 ∴ .                           ………………………………………………2分 ∴          ………………………………………………3分      .            ………………………………………………4分 由，Z ， 得，Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分 （2）解：∵， ∴.           ∴ .                    ………………………………………………7分 ∵ ， ∴ .       ………………………………………………8分 ∵， ∴.          ∴ .                  ………………………………………………9分 ∵ ， ∴ .        ……………………………………………10分 ∴ …………………………………………11分                           .               ………………………………………………12分 考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式． 20. （本小题满分12分） 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率 参考答案： 解：（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. （2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种. ②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种. 所以P(B)＝＝. 略 21. 已知函数． （1）当时，求证：对时，； （2）当时，讨论函数f(x)零点的