湖北省荆州市石首天星洲中学2023年高三数学理联考试题含解析

湖北省荆州市石首天星洲中学2023年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为（　　） A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=1.25，b=1.5时满足条件|a﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=1，b=2，c=0.3 执行循环体，m=，不满足条件f（m）=0， 满足条件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不满足条件|a﹣b|＜c， m=1.25，不满足条件f（m）=0，不满足条件f（a）f（m）＜0，a=1.25，满足条件|a﹣b|＜c， 退出循环，输出的值为1.375． 故选：D． 【点评】本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题． 　 2. 在等比数列中,,前项和为.若数列也成等比数列,则等于（  ） A.      B.      C.        D. 参考答案： C 3. 设全集是实数集，M=，N＝  ，则图中阴影部分表示的集合是    (     ) A．{|1＜≤2 B．{|0≤≤2}    C．{|1≤≤2  D．{|＜0} 参考答案： C 略 4. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示除以的余数），若输入的，分别为495，135，则输出的= A．0      B．5      C．45        D．90 参考答案： C 考点：算法和程序框图 否； 否； 是，输出m=45. 故答案为：C 5. 已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（xn，yn）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（　　） 　 A． 80 B． 81 C． 79 D． 78 参考答案： B 略 6. 已知的图像如图所示，则的图像可能是（  ） A．   B．   C.    D．  参考答案： D 由导函数图像可知，当时，函数单调递减，故排除，；由在上单调递减，在单调递增，因此当时，函数由极小值，故排除. 故选D.      7. 已知抛物线的焦点为F准线为l, P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,且Q位于第四象限,过Q作l的垂线QE,垂足为E,若PF的倾斜角为60°,则的面积是(    ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 表示PF方程为,与抛物线方程联立，求解Q点坐标，求解面积. 【详解】 由已知条件抛物线的准线为，焦点为, 直线PF倾斜角为60°,故斜率，方程为： 代入抛物线方程可得： 解得： 由于Q在第四象限 故选：A 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8. 设函数f(x)＝(x－a)2＋(ln x2－2a)2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f(x0)≤b成立，则实数b的最小值为 A.                                B.          C.                                 D.1 参考答案： C 9. 已知a为常数，若曲线存在与直线x+y-1=0互相垂直的切线，则实数a的取值范围是（       ） A.       B.       C.      D. 参考答案： B 10. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限         B．第二象限        C．第三象限          D．第四象限 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆C的圆心是直线与y轴的交点，且圆C与直线相切，则圆的标准方程为            ． 参考答案： 12. 在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。 【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得 参考答案： 在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得 【答案】4 13. 设为正六边形，一只青蛙开始在顶点处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到点，则停止跳动；若5次之内不能到达点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共　　▲　　种。 参考答案： 26 略 14. 在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为________________． 参考答案： 1 由题意知，所以。第三列和第五列的公比都为,所以，所以，即。，所以 。   15. 已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为　  　． 参考答案： 5 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得． 【解答】解：作出不等式组，所对应的可行域（如图阴影）， 变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，由， 可得A（2，1）平移直线y=﹣2x可知，当 直线经过点A（2，1）时，z取最大值， 代值计算可得z=2x+y的最大值为：5． 故答案为：5． 16. 若函数的图象关于点（2,0）对称，且对任意实数时, 恒成立，则实数的最小值为_________. 参考答案： 5 17. 不等式的解集是         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. （1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？   合格 优秀 合计 男生     女生     合计     附： . 参考答案： （1）由题意，得： 中间值 概率 ∴. ∴名考生的竞赛平均成绩为分. （2）   合格 优秀 合计 男生 女生 合计 . 故有的把握认为有关. 19. 袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取求。 （I）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率； （II）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望。 参考答案： （I）解：从袋子里有放回地取3次球，相当于做了3次独立重复试验，每次实验取出红球得概率为，取出黑球的概率为，设事件A=“取出2个红球1个黑球”，则 P（A）=C（）2（）=3xx= （II）解：的取值有四个：3,4,5,6，分布列为：P（=3）=，P（=4）=，P（=5）=，P（=6）=。 3 4 5 6 P 从而得分的数学期望E=3x+4x+5x+6x= 20. 已知函数，其中m为常数，e为自然对数的底数。 （1）当的最大值； （2）若上的最大值为，求m的值； （3）当m=-1时，g(x)=,试证明函数y=的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方。 参考答案： 略 21. （本小题满分14分） 已知函数（为自然对数的底数）. （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）讨论函数的极值情况； （3）当时，若直线与曲线没有公共点，求k的取值范围. 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．B11 B12 （1）（2）当时，无极值；当时在处取得极小值，无极大值.（3）  解析：（1）由，得.           又在点处的切线平行于轴， 得，解得.                   …4分        (2) . ①当时，，为上增函数，             所以无极值；           ………6分 ②当时，令得.   当时，， 在上递减， 当时，， 在上递增， 故在处取得极小值，无极大值，……8分 综上，当时，无极值； 当时在处取得极小值，无极大值. ……9分        （3）当时，.             直线与曲线没有公共点等价于关于的方程 在上没有实数解， 即关于的方程在上没有实数解. ………11分 ①当时，方程为，在上没有实数解；………10分 ②当时，方程为. 令，则有. 令，得，   当变化时，的变化情况如下表： 负 0 正 减 增 当时，，从而， 所以当时，方程没有实数解， 解得，                             ………13分 综上，的取值范围为.                  ………14分 【思路点拨】（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值； （2），分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值； （3）直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点?方程g（x）=0在R上没有实数解，对k讨论即可得答案． 22. 已知直线l：（其中t为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=． （1）求C的直角坐标方程，并求C的焦点F的直角坐标； （2）已知点P（1，0），若直线l与C相交于A，B两点，且=2，求△FAB的面积． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐标方程． （2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0，利用根与系数的关系及其已知可得：|t1﹣t2|=2|t1t2|，平方得，可得sin2α=1，即可得出． 【解答】解：（1）原方程变形为ρ2sin2θ=ρcosθ， ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C的直角坐标方程为y2=x，其焦点为． （2）把l的方程代入y2=x得t2sin2α﹣tcosα﹣1=0， 则，① ， 即|t1﹣t2|=2|t1t2|， 平方得，② 把①代入②得，∴sin2α=1， ∵α是直线l的倾斜角，∴， ∴l的普通方程为x=1，且|AB|=2， 点F到AB的距离d=1﹣= ∴△FAB的面积为S=|AB|×d==．