浙江省金华市黄宅中学2022年高二数学文期末试卷含解析

浙江省金华市黄宅中学2022年高二数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知. 、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则 (  ) A． B． C．  D．与的大小关系不确定 参考答案： A 2. 已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β          B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α         D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β 参考答案： D 3. 如图，在正方体中，M、N分别是的中点，则下列判断错误的是 A．与垂直     B．与垂直 C．与平行     D．与平行 参考答案： D 略 4. 若非零向量，满足||＝||，(2＋)·＝0，则与的夹角为（     ） A．150°         B．120°          C．60°           D．30° 参考答案： B 5. 三个共面向量、、两两所成的角相等，且，，，则 等于（    ）                                                                 A．或6     B． 6    C．     D．3或6 参考答案： A 略 6. “b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的(　　) A．充分不必要条件               B．必要不充分条件 C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 7. 已知F1，F2为双曲线C：﹣=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值为（　　） A．2﹣6 B．10﹣3 C．8﹣ D．2﹣2 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，得出直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，求出a，再利用双曲线的定义进行转化，即可得出结论． 【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0）， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x， ∵对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点， ∴直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行， ∴a=3， ∴c=5， ∴F1为（﹣5，0）， ∵P（7，2），∴|PF1|==2， ∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|﹣6≥|PF1|﹣6=2﹣6 ∴|AP|+|AF2|的最小值为2﹣6， 故选A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线定义的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键． 8. 在等比数列的值为  （     ）     A．9             B．1              C．2         D．3 参考答案： D 略 9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 A．                 B．   1      C．                 D． 参考答案： A 略 10. 双曲线的渐近线方程为（  ） A.   B.    C.      D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的取值范围是           。 参考答案： 略 12. 在的展开式中，含x的项的系数为    （用数字作答）． 参考答案： 54 13. 函数的定义域是         ． 参考答案： 14. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为          和        参考答案： 24，23 略 15. 用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为　   　． 参考答案： ﹣57 【考点】秦九韶算法． 【分析】首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值． 【解答】解：∵f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6 =（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12， ∴v0=a6=3， v1=v0x+a5=3×（﹣4）+5=﹣7， v2=v1x+a4=﹣7×（﹣4）+6=34， v3=v2x+a3=34×（﹣4）+79=﹣57， ∴V3的值为﹣57； 故答案为：﹣57． 16. 若向量，满足条件，则x=    ▲    参考答案： 2 依题意可得，，所以由，所以.   17. 对于自然数方幂和，，，求和方法如下： ， ， … ， 将上面各式左右两边分别相加，就会有，解得，类比以上过程可以求得，且与n无关，则A+F的值为          ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； （2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值． （2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值． 【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T）， 则（0＜x≤210）， 当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元． （2）设年利润为u（万元），则 =． 所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元． 19. 已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=． （1）求函数f（x）的极值； （2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围； （3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）问题转化为不等式在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可； （3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1， ∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）… 令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2， 列表如下： x （﹣∞，0） 0 f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为… （2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x）， ∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解， 即不等式在x∈[1，2]上有解，… 设，∵对x∈[1，2]恒成立， ∴在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4， ∴2a≤4，即a≤2… （3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为， ①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立， ∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点… ②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0， ∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点… ③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1）， ∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减， 又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0． Ⅰ．当0＜x≤x0时， ∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数， 又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点； Ⅱ．当x＞x0时， ∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数， ∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点； 从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点… 综上所述，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点… 20. （本题满分12分） 已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF|＝． （1）求椭圆C1的方程；ks5u （2）若过点A(－1, 0)的直线与椭圆C1相交于M，N两点，求使＋＝成立的动点R的轨迹方程； （3）若点R满足条件（Ⅱ），点T是圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，求|RT|的最大值． 参考答案： (1) 抛物线的焦点的坐标为，准线为，设点的坐标为，依据抛物线的定义，由，得， 解得．    ∵ 点在抛物线上，且在第一象限， ∴ ，解得． ∴点的坐标为．     ∵点在椭圆上，   ∴． 又，且，解得． ∴椭圆的方程为． (2)  设点、、，        则．        ∴． ∵ , ∴．                   ① ∵、在椭圆上，  ∴ 上面两式相减得．② 把①式代入②式得． 当时，得．                   ③ 设的中点为，则的坐标为． ∵、、、四点共线， ∴, 即．           ④ 把④式代入③式，得， 化简得． 当时，可得点的坐标为，ks5u 经检验，点在曲线上． ∴动点的轨迹方程为． (3)  由(2)知点的坐标满足, 即,        由,得,解得．        ∵圆的圆心为,半径,        ∴               ．        ∴当时,,          此时,． 略 21. 求满足下列条件的直线方程： （1）       过点（2，3），斜率是直线斜率的一半； 过点（1，0），且过直线 参考答案： 略 22. （11分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，O、M、N分别是B1D1、AB1、AD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点P． （Ⅰ）证明：MN∥平面CB1D1； （Ⅱ）证明：①A、P、O、C四点共面；②A、P、O三点共线． 参考答案： 【考点】空间中直线与直线之