湖北省武汉市文华中学高二数学文下学期期末试题含解析

湖北省武汉市文华中学高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用min{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为     (　　) A．3　 　 　    B．4　 　 　        C．5　 　 　        D．6 参考答案： D 略 2. PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（   ）       A．           B.            C.             D. 参考答案： C 略 3. 函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则 A．         B．          C．        D． 参考答案： A 略 4. 在空间直角坐标系中，，，点在直线上，则 A．       B．     C．      D．  参考答案： B 略 5. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或 称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图 （或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形， 则该几何体的体积为（    ）                                                             参考答案： B 略 6. （原创）已知函数满足，且当时， 成立，   若，的大小关系是（     ）   A．    B．         C．        D． 参考答案： C 略 7. 设a，b，c成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，则  A.1             B.2              C.3              D.不确定 参考答案： B 8. 已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值． 【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选D． 【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． 9. 当时，下面的程序段输出的结果是（  ）     A．             B．             C．            D． 参考答案： D 10. 存在性命题“存在实数使x2＋1<0”可写成 A．若x∈R，则x2＋1<0                          B．?x∈R，x2＋1<0 C．?x∈R，x2＋1<0                  D．以上都不正确 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是▲   ． 参考答案： 2 12. 若某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的体积为_________. 参考答案： 2 13. 化简          ． 参考答案： （展开式实部） （展开式实部） .   14. 曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为            参考答案：       略 15. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据： 产量x（千件） 2 3 5 6 成本y（万元） 7 8 9 12 则该产品的成本y与产量x之间的线性回归方程为　    　． 参考答案： =1.10x+4.60   【考点】线性回归方程． 【分析】根据表中数据先求出平均数，再由公式求出a，b的值，即可写出回归直线方程． 【解答】解：由题意，计算=×（2+3+5+6）=4， =×（7+8+9+12）=9， b==1.10， 且回归直线过样本中心点（，）， ∴a=9﹣1.10×4=4.60， 故所求的回归直线方程为： =1.10x+4.60． 故答案为： =1.10x+4.60． 【点评】本题考查了利用公式求线性回归直线方程的应用问题，是基础题目． 　 16. 函数y=（x＞0）的最小值是　　． 参考答案：   【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】令x+1=t（t＞1），则y==，运用配方法，即可得到所求最小值． 【解答】解：y=， 令x+1=t（t＞1）， 则y== =， 当=，即t=3，即x=2时，取得最小值． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和配方法，考查运算能力，属于中档题． 　 17. 集合，现有甲、乙、丙三人分别对a，b，c的值给出了预测，甲说，乙说，丙说.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么__________. 参考答案： 213. 【分析】 由题意利用推理的方法确定a,b,c的值，进一步可得的值. 【详解】若甲自己的预测正确，则：，据此可知，丙的说法也正确，矛盾； 若乙自己的预测正确，则：，矛盾； 据此可知只能是丙自己的预测正确，即：； 故：，则. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励． （1）试求受奖励的分数线； （2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率. 参考答案： 解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为， 竞赛成绩在的人数为， 故受奖励分数线在之间， 设受奖励分数线为，则， 解得，故受奖励分数线为． （2）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12， 利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人， 设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为， 所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．   19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,是等边三角形,,,. (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若平面平面ABCD,,求二面角的余弦值 参考答案： 证明：（Ⅰ）取的中点，连接 为等边三角形 且 又 四边形为矩形 ,平面 又平面， (Ⅱ)由（Ⅰ）知 平面平面，平面平面，平面 平面, 以为坐标原点，以所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 设则 ,, 又，得, ,, , 设平面法向量 由,得，取，得 又知是平面的一个法向量，设 ， 二面角的余弦值为 20. 设数列的前项和满足,其中. ⑴若,求及; ⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件. 参考答案： 解:⑴ ………①, 当时代入①,得,解得;   由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,   故(对也满足); ⑵当或时,显然,等号成立. 设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为: 即证: 当时,上面不等式的等号成立. 当时,与,()同为负; 当时,    与,()同为正; 因此当且时,总有 ()()>0,即 ,(). 上面不等式对从1到求和得,; 由此得 ; 综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.     略 21. 已知． （1）求函数的极值； （2）设，对于任意，，总有成立，求实数a的取值范围． 参考答案： (1) 的极小值为：，极大值为： (2) 试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数的最大值为,则只需.求出函数的导数,对分成两类,讨论函数的单调区间和最小值,由此求得的取值范围. 试题解析: (1) 所以的极小值为：，极大值为：； (2) 由(1)可知当时，函数的最大值为 对于任意，总有成立，等价于恒成立， ①时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意.  ②当时，设，， 所以在上单调递增，且，则存在，使得 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以不恒成立，不合题意. 综合①②可知，所求实数的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查利用导数求解恒成立问题. 求极值的步骤：     ①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）； ②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. 22. 设函数． （1）若函数f(x)为奇函数，(0，π)，求的值； （2）若＝，＝，(0，)，求的值． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）根据函数为奇函数得，根据的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和可得：，利用同角三角函数可求得；利用二倍角公式求得和，将整理为，利用两角和差余弦公式求得结果. 【详解】（1）为奇函数    又    当时，是奇函数，满足题意 （2），    又        ； 【点睛】本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式.