湖北省恩施市州高级中学高二数学文模拟试题含解析

湖北省恩施市州高级中学高二数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （文科）下列命题中正确的是  A．若，则           B．若，，则 C．若，，则      D．若，，则 参考答案： C 2. 复数i﹣1(i是虚数单位)的虚部是(    ) A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 参考答案： A 3. 复数的模是（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先将复数化成形式，再求模。 【详解】 所以模是 故选D. 【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。 4. 数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是(     ) A．an=2n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=2n D．an=2n+1 参考答案： B 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】计算题． 【分析】观察此数列是首项是1，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列 的一个通项公式． 【解答】解：由于数列1，2，4，8，16，32，…的第一项是1，且是公比为2的等比数列， 故通项公式是 an=1×qn﹣1=2n﹣1，故此数列的一个通项公式an=2n﹣1， 故选B． 【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式，求出公比q=2是解题的关键，属于基础题． 5. 直线3x+4y﹣13=0与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d=r，故直线与圆相切． 【解答】解：由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r=1， 所以圆心到直线3x+4y﹣13=0的距离d==1=r， 则直线与圆的位置关系为相切． 故选C 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离． 6. 已知回归直线的斜率的估计值为，样本 点的中心为，则回归直线方程为 A. 　 B. C. D.   参考答案： C 略 7. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数为纯虚数的概率为（　　） A.             B.            C.               D. 参考答案： A 8. 在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝（  ） A．　　 B．     C．        D． 参考答案： C 9. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（　　） A．AD B．CD C．PC D．PD 参考答案： B 【考点】直线与平面垂直的性质． 【分析】连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，可得CD⊥面MNO即可．． 【解答】解：连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，如图所示： ∵N、O分别为PC、AC中点， ∴NO∥PA， ∵PA⊥面ABCD， ∴NO⊥面ABCD， ∴NO⊥CD． 又∵M、O分别为AB、AC中点， ∴MO⊥CD， ∵NO∩MO=O， ∴CD⊥面MNO， ∴CD⊥MN． 故选：B． 【点评】本题考查了通过线面垂直判定线线垂直，属于基础题． 10. 已知函数在区间(－2,－1)内存在单调递减区间，实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据题意求出函数的导数，问题转化为，根据不等式的性质求出a的范围即可． 【详解】， 由题意得， 使得不等式成立， 即时，， 令，， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在递增，在递减， 故， 故满足条件a的范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等差数列中，，，且，为其前项之和，则（   ） A．都小于零，都大于零 B．都小于零，都大于零 C．都小于零，都大于零 D．都小于零，都大于零 参考答案： C 略 12. 已知函数的图象恒过定点，若点与点B、C在同一直线上，则的值为        参考答案： 1 略 13. 的值为          . 参考答案：  4 14. 设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　) 参考答案： A 略 15. 已知＞10，，则、的大小关系是__ 参考答案： < 16. 用秦九韶算法求次多项式，当时的值，需要的乘法运算、加法运算的次数一共是               ． 参考答案： 17. 直线ax+y﹣1=0（a∈R）恒过定点　　． 参考答案： （0，1） 【考点】恒过定点的直线． 【专题】数形结合；转化思想；直线与圆． 【分析】直线ax+y﹣1=0，令，解出即可得出． 【解答】解：∵直线ax+y﹣1=0，令，解得x=0，y=1． ∴直线ax+y﹣1=0（a∈R）恒过定点（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查了直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】 【解析】 一次数学测验后某班成绩均在（20，100]区间内，统计后画出的频率分布直方图如图，如分数在（60，70]分数段内有9人．则此班级的总人数为　 　． 【答案】60 【解析】 【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计． 【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量即可． 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 分数在（60，70]分数段内的频率为 0.015×10=0.15， 频数为9， ∴样本容量是=60； ∴此班级的总人数为 60． 故答案为：60． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应用频率=进行解答，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且AA'=2． （1）试在棱CC'上确定一点M，使A'M⊥平面AB'D'； （2）当点M在棱CC'中点时，求直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）取AC边中点为O，则OB⊥AC，连接OD'，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出当CM=时，A'M⊥平面AB'D'． （2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1， ），求出平面A′BM的一个法向量，利用向量法能求出直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值． 【解答】解：（1）取AC边中点为O，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OB⊥AC， 连接OD'，∵D'是边A'C'的中点，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB， 建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴如图所示的空间直角坐标系… 则有O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0）， B'（，0，2 ），A'（0，﹣1，2 ），D'（0，0，2 ），C'（0，1，2 ）， 设M（0，1，t），则=（0，2，t﹣2 ），=（0，1，2 ），=（，1，2 ）… 若A'M⊥平面AB'D'，则有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'， ∴，解得t=， 即当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．… （2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1， ）， ∴=（﹣），=（0，2，﹣）， 设平面A′BM的一个法向量=（x，y，z）， ∴， 令z=，得=（），… 设直线AB'与平面A'BM所成角为θ， 则sinθ==． ∴直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值为．… 19. （10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1． （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，然后证明OC∥平面A1B1C1． （2）结合（1）中的空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，平面ACA1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AC﹣A1的正弦值，即可． 【解答】（本题满分10分） （1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分） 依题意，， 因为，… 所以， 所以， 又OC?平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．… （2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0）， 则，…（5分） 设为平面ABC的一个法向量， 由得解得 不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2， 所以．…（7分） 设为平面ACA1的一个法向量， 由得解得 不妨设y2=1，则x2=1， 所以．…（9分） 因为，， 于是， 所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分） 【点评】本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力． 20. （本小题满分13分）设命题:对任意实数，不等式恒成立； 命题:方程表示焦点在轴上的双曲线. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围. 参考答案： (1) 方程表示焦点在轴上的双曲线 即命题为真命题时实数的取值范围是      ………………………5分 （2）若命题真，即对任意实数，不等式恒成立。 ， ∴               …………………………………………………6分 为真命题，为假命题，即P真q假，或P假q真， 如果P真q假，则有       ………………………9分 如果P假q真，则有          ……………………12分 所以实数的取值范围为或……………………13分 21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点． （1）证明：平面EAC⊥平面PBD； （2）若PD∥平面EAC，求三棱锥P-EAD的体积． 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）由线线垂直得线面垂直AC⊥平面PBD，再根据面面垂直判定定理得结果． （2）根据等体积法得，再根据锥体体积公式得结果. 【详解】(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD． 而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD． （2）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE， ∴PD∥OE， ∵O是BD中点，∴E是PB中点． ∵四边形ABCD是菱形