浙江省金华市花桥中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

浙江省金华市花桥中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为(　　)  A．16          B.12　        C. 8             D. 4 参考答案： C 略 2. 已知函数f（x）=，关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数不可能为(     ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 参考答案： A 【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用． 【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】由基本不等式可得x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，再作出函数f（x）=的图象，从而由图象分类讨论，从而由此分析关于x的方程f（x+﹣2）=a的实根个数． 【解答】解：由基本不等式可得， x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4； 作函数f（x）=的图象如下， ①当a＞2时，x+﹣2＜﹣24或0＜x+﹣2＜1， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为4； ②当a=2时，x+﹣2=﹣24或0＜x+﹣2＜1或x+﹣2=2， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为6； ③当1＜a＜2时，﹣24＜x+﹣2＜﹣4或0＜x+﹣2＜1或1＜x+﹣2＜2或2＜x+﹣2＜3， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为8； ④当a=1时，x+﹣2=﹣4或0＜x+﹣2＜1或1=x+﹣2或x+﹣2=3， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为7； ⑤当0＜a＜1时，﹣4＜x+﹣2＜0或3＜x+﹣2＜4， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为6； ⑥当a=0时，x+﹣2=0或3＜x+﹣2＜4， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为3； ⑦当a＜0时，x+﹣2＞3， 故方程f（x+﹣2）=a的实根个数为2． 故选A． 【点评】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题． 3. 设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为                                        参考答案： B 略 4. 对于任意实数，下列五个命题中: ① 若，则；② 若，则；③ 若，则；   ④若则；         ⑤若，则. 其中真命题的个数是（    ）     A．1            B．2        C．3           D．4 参考答案： A 略 5. 在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC的外心，则(    ) A．34            B．16           C．8            D．0   参考答案： C 6. 设，满足约束条件，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先根据约束条件画出可行域，设z＝x-y，再利用z的几何意义求最值，从而得到z的取值范围． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，   当直线过点时，取得最大值3，故. 故选B. 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题． 7. 若复数(是虚数单位)为纯虚数，则(    ). A.2         B.-2         C.1         D.-1 参考答案： B 略 8. 设变量满足约束条件：的最大值为（    ）     A．10   B．8    C．6    D．4 参考答案： C 略 9. “直线l垂直于平面”的一个必要不充分条件是   A．直线l与平面内的任意一条直线垂直  B．过直线l的任意一个平面与平面垂直   C．存在平行于直线l的直线与平面垂直  D．经过直线l的某一个平面与平面垂直 参考答案： D 10. 设向量，，定义一运算： ，已知，。点Q在的图像上运动，且满足 （其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（      ） A．            B．       C．        D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=ax﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [，1） 【考点】函数恒成立问题． 【专题】转化思想；配方法；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解． 【解答】解：函数的导数f′（x）=axlna﹣lna=lna?（ax﹣1）， ∵0＜a＜1，∴lna＜0， 由f′（x）＞0得lna?（ax﹣1）＞0，即ax﹣1＜0，则x＞0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得lna?（ax﹣1）＜0，即ax﹣1＞0，则x＜0，此时函数单调递减， 即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1， 当x=1，则f（1）=a﹣lna 当x=﹣1，则f（﹣1）=a﹣1+lna， 则f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna， 设g（a）=a﹣﹣2lna， 则g′（a）=1+﹣=（﹣1）2＞0， 则g（a）在（0，1）上为增函数， 则g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0， 即g（a）＜0， 则f（1）﹣f（﹣1）＜0， 即f（1）＜f（﹣1）， 即函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=a﹣1+lna， 若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立， 则f（﹣1）=a﹣1+lna≤e﹣1， 即+lna≤e﹣1， 设h（a）=+lna， 则h′（a）=﹣+=﹣（）2+， ∵0＜a＜1，∴＞1， ∴当h′（a）＜h′（1）=0， 即h（a）=+lna在0＜a＜1上为减函数， 由+lna=e﹣1得a=． 则+lna≤e﹣1等价为h（a）≤h（）， 即≤a＜1， 故答案为：[，1）． 【点评】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．本题的难点在于多次构造函数，多次进行进行求导，考查学生的转化和构造能力和意识． 12. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（　　） A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 参考答案： B 【分析】 按入住宾馆的代表团的个数分类讨论. 【详解】如果仅有、入住宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有安排种数， 如果有、及其余一个代表团入住宾馆，则余下两个代表团分别入住，此时共有安排种数， 综上，共有不同的安排种数为，故选B. 【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误. 13. 焦点在直线3x－4y－12=0上的抛物线的标准方程是________ 参考答案： 略 14. 已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为　　． 参考答案： 【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到． 【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°， 则﹣45°＜α﹣45°＜45°， 则有cos（α﹣45°）==， 则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45° ==， 则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=， 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题． 15. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________． 参考答案： 16. ．t＞0，关于x的方程|x|+=的解为集合A，则A中元素个数可能为　　（写出所有可能）． 参考答案： 0，2，3，4 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】化方程为，得到两个函数所对应的图象，画出图象，数形结合得答案． 【解答】解：由|x|+=，得 ， 由y=，得x2+y2=t（y≥0）， 又， 作出图象如图： 由图可知，当0＜t＜1或t时，A中元素个数为0； 当t=1时，A中元素个数为2； 当t=时，A中元素个数为3； 当1＜t＜时，A中元素个数为4． 故答案为：0，2，3，4． 【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，考查了数形结合与分类讨论的数学思想方法，是中档题． 17. 下面是一个算法的程序框图，当输入的值为8时，则其输出的结果是           。 参考答案： 答案：2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解. 试题解析:（I）因为，，所以平面， 又因为平面，所以. （II）因为，为中点，所以， 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因为PA∥平面BDE，平面平面， 所以PA∥DE. 因为为中点，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱锥的体积. 19. 某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图3)和频率分布直方图(图4)都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题。    （1）求全班人数及分数在之间的频数；    （2）计算频率分布直方图中的矩形的高；    （3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率。 参考答案： 18解：（1）由茎叶图可知，分数在之间的频数为2,频率为，所以全班人数为（人）                                             （2分）   故分数在之间的频数为.           （3分） (2) 分数在之间的频数为4, 频率为                （5分） 所以频率分布直方图中的矩形的高为            （7分） （3）用表示之间的4个分数，用表示之间的2个分数，则满足条件的所有基本事件为：，，，，共15个，                       （10分） 其中满足条件的基本事件有： ，，共9个      （12分） 所以至少有一份分数在[90，100]之间的概率为.                     （14分）   略 20. 已知：平行四边