海南省海口市华中师范大学海南附属中学高一数学理月考试题含解析

海南省海口市华中师范大学海南附属中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的一个取值可以为 A. B. C. D. 参考答案： AB 【分析】 本题首先可以将转化为，然后可以利用推导出，再然后通过得出，最后根据题意可知，通过计算即可得出结果。 【详解】由得，即， 因为，所以，即 因为，所以， 因为对于任意，方程仅有一个实数根， 所以，解得， 因为四个选项仅有在内，故选AB。 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查余弦函数的相关性质，能否根据题意得出并利用余弦函数性质得出的取值范围是解决本题的关键，考查化归与转化思想，考查推理能力，是难题。 2. 设全集，，则（    ） A．       B．      C．       D． 参考答案： D 略 3. 若函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，则有（　　） A．|a|＜1 B．1＜|a|＜2 C．1＜|a|＜ D．|a|＞ 参考答案： C 【考点】函数单调性的性质． 【分析】令0＜a2﹣1＜1，解出a的范围． 【解答】解：∵函数y=（a2﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a2﹣1＜1，∴1＜a2＜2．∴1＜|a|＜． 故选C． 【点评】本题考查了指数函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题． 4. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（log2x）＞0的解集为（　　） A．（0，） B．（，1）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，）∪（2，+∞） 参考答案： D 【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合． 【分析】由当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，可得：f（x）为增函数，又由f（x）定义在R上的偶函数，可得：f（x）＞0时，x＞1，或x＜﹣1，故f（log2x）＞0时，log2x＞1，或log2x＜﹣1． 【解答】解：当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2， ∴f（1）=0， 又∵当x∈[0，+∞）时，f（x）为增函数，又是定义在R上的偶函数， 故f（x）＞0时，x＞1，或x＜﹣1， 故f（log2x）＞0时，log2x＞1，或log2x＜﹣1， 解得：x∈（0，）∪（2，+∞）， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，指数函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档． 5. 在中, 已知 则                                        A.1               B.                  C.2                 D. 参考答案： B 6. 若函数f(x)=log(2+x)  (a>0,a≠1)在区间（0，）上恒有f(X)＞0,则f(X)的单调增区间是（   ） A. (-∞,- )  B(- ,+∞)   C (-∞,- )    D .(0, +∞) 参考答案： C 7. 设集合，则=（    ） A.（1，4） B.（1，3）    C.（3，4）   D. （1，2）∪（3，4） 参考答案： C   8. 已知函数，且，则实数的值为        （  ▲  ）    A               B                  C  或            D  或或   参考答案： C 略 9. cos225°=（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 可以把角化成，利用诱导公式化成以内的特殊角，从而得到结果. 【详解】由三角函数诱导公式可知： 故选C. 【点睛】诱导公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成到范围内进行求解. 10. 下列四组函数中，表示同一函数的是（  ）． （A）y=x–1与y= （B）y=与y= （C）y=4lgx与y=2lgx2 （D）y=lgx–2与y=lg 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的        条件、 参考答案： 必要非充分 12. 将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x），则函数g（x）的单调递减区间为　　． 参考答案： [kπ，k]，k∈Z 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数的解析式g（x）=2sin（2x+），再利用正弦函数的单调性，可得g（x）的单调性，从而得出结论． 【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为g（x）=2sin2（x+）=2sin（2x+）， 由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得g（x）的单调递减区间为：[kπ，k]，k∈Z． 故答案为：[kπ，k]，k∈Z． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题． 13. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论： ①当x＞1时，甲走在最前面； ②当x＞1时，乙走在最前面； ③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最前面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为　　（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分） 参考答案： ③④⑤ 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数型函数，幂函数，一次函数以及对数型函数的增长速度便可判断每个结论的正误，从而可写出正确结论的序号． 【解答】解：路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为： ，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1）； 它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型； ①当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=8，∴该结论不正确； ②∵指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，∴x＞1时，甲总会超过乙的，∴该结论不正确； ③根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，∴该结论正确； ④结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴该结论正确； ⑤指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴该结论正确； ∴正确结论的序号为：③④⑤． 故答案为：③④⑤． 【点评】考查指数型函数，幂函数y=x3和y=x，以及对数型函数的增长速度的不同，取特值验证结论不成立的方法． 14. 设a＞0，b＞0，a+4b+ab=3，则ab的最大值为　_________　． 参考答案： 1 15. 若函数f (x) = 4x3－ax+3的单调递减区间是，则实数a的值为             . 参考答案： 3 16. 已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=　     ． 参考答案： ﹣2 【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系． 【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα． 【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=， ∴cosα=， 又α∈（﹣，0）， ∴sinα=﹣， ∴tanα==﹣2． 故答案为：﹣2． 17. （5分）计算=         ． 参考答案： 考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用两角差的正切公式把要求的式子化为tan（45°﹣15°）=tan30°，从而求得结果． 解答： ==tan（45°﹣15°）=tan30°=， 故答案为：． 点评： 本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）试确定a的值，使f（x）为奇函数； （2）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）利用f（0）=0，确定a的值，使f（x）为奇函数； （2）利用函数单调性的定义进行证明即可． 【解答】解：（1）由题意，f（0）=a﹣=0，∴a=， f（﹣x）=a﹣； ∵f（x）+f（﹣x）=a﹣+a﹣=2a﹣=2a﹣1； ∴经检验a=，f（x）为奇函数； （2）函数f（x）在定义域R内单调递增． 任意设两个实数x1，x2，且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=， ∵x1＜x2， ∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0 ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在定义域R内单调递增． 19. 函数在一个周期内的图象如图，其中 （1）求此函数的解析式    （2）求函数的单调增区间 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）直接由函数图像得到和函数的半周期，再由周期求得，再由五点作图的第二点求得，从而得出答案。 （2）根据正弦函数的单调性，构造不等式，解不等式可得函数的单调区间。 【详解】（1）由图可知，, 所以 ， 又因为， 所以 由五点作图的第二点求得 所以此函数的解析式为 （2）由 解得 所以单调增区间 【点睛】本题考查求型函数的解析式和单调区间，由函数图像得到和函数的半周期，再由周期求得，最后代点求，即可求出解析式，属于基础题。 20. 如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点． （1）求证：DE∥平面ABC； （2）求证：B1C⊥平面BDE． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取BC中点G，连接AG，EG，欲证直线DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC中的一条直线即可，由四边形ADEG为平行四边形，可知AG∥DE，AG?平面ABC，DE?平面ABC，问题得证． （2）取BC的中点G，判断三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，BB1⊥平面ABC，再证明B1C⊥BE，可证得：B1C⊥平面BDE． 【解答】证明：（1）， ∵G，E分别为CB，CB1的中点， ∴EG∥BB1，且， 又∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1， ∴EG∥AD，EG=AD ∴四边形ADEG为平行四边形． ∴AG∥DE ∵AG?平面ABC，DE?平面ABC， 所以  DE∥平面ABC． （2）由可得，取BC中点G ∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1， ∴BB1⊥平面ABC． ∵AG?平面ABC， ∴AG⊥BB1， ∵G为BC的中点，AB=AC， ∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB1C1C， ∵B1C?平面BB1C1C， ∴A