广东省汕头市金山中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题 (含答案）

汕头市金山中学2020级高二第二学期期中考数学试卷 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（       ） A． B． C． D． 3．已知都是实数，则“”是“”的（       ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件 4．已知点在角的终边上，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 5．已知各项不为的等差数列满足，数列是等比数列，且，则（       ) A．1 B．8 C．4 D．2 6．已知直线与直线互相垂直，则的最小值为（       ） A．5 B．4 C．2 D．1 7．某班班会准备从含甲、乙的人中选取人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（       ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．已知正项数列满足，当最大时，的值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　 A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 10．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（       ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数 D．函数在区间上单调递增 11．函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（       ） A．数列为等差数列 B． C． D． 12．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（       ） A．时， B．时，的最小值为9 C．时， D．时，的最小值为8 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．二项式展开式中的常数项为__________. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______. 15．已知抛物线焦点为，过点斜率为的直线交该抛物线于点，（点在第一象限），与该抛物线的准线交于点，则______． 16．如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为_______ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．从10名同学（其中6女4男）中随机选出3人参加测验，每个女同学通过测验的概率均为，每个男同学通过测验的概率均为，求： (1)选出的3个同学中，至少有一个男同学的概率； (2)10个同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 18．如图，在四边形中，，，，，. （1）求；（2）求的长. 19．已知正项数列，其前n项和满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由. 20．如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点． (1)求证：平面ABE； (2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值． 21．已知函数． （Ⅰ）当时，求证：． （Ⅱ）设，若，，使得成立，求实数a的取值范围． 22．已知椭圆的焦距为，经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线分别交椭圆于A，B．，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由． 高二第二学期期中考数学试卷参考答案： 1． A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9． ABC 10．ACD 11．BC 12．BC 13．60 14． 15． 16 8令，两边取对数，有，令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以时，取到最大值，从而有最大值， 因此，对于，当时，；当时，. 而，因此，当最大时，. 12当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴， 不妨取 ，则，故A错误； 当时，， 此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设, 则 ，则 ， 故 ， 令 ，则， 令 ，则     ， 当时， ， 递增，当时， ， 递减， 故 ， 故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确； 当时，， 此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设, 则， 即， 故，， 所以，故C正确； 由C的分析可知：， 当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误； 15由题意可得,抛物线准线方程为, 则直线的方程为:, 联立,解得或, 即,,,,所以,,则, 16．设过与垂直的线段长为， 则，，，， 则四棱锥的高， 则 ，， ∴四棱锥体积的最大值为. 17．(1)记选出的同学中至少有一个男同学为事件A，则； (2)甲、乙被选中且通过测验的概率. 18．（1）因为，，则、均为锐角， 所以，，， ， ，则，因此，； （2）在中，由正弦定理可得， 可得， 在中，由余弦定理可得， 因此，. 19． (1)依题意，正项数列中，，即， 当时，，即， 整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，因为是正项数列，即， 所以. (2)不存在， 当时，，又，即，都有， 则， 假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列， 则，即， 两边同时平方，得，即， 整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的， 所以数列中不存在满足要求的连续三项. 20 (1)证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF， 因为M，F分别为ED和EC的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2)解：如图所示，过E作交AB于O， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高， 要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点， 取CD的中点G，连接OG，因为，，所以， 因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直， 以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系， 设，所以， 可得，，，则，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，则， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二成角的余弦值为． 21．解：（Ⅰ）当时，要证，只需证， 令，则 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 故，所以． （Ⅱ）问题等价于，， 由得， 由得， 所以在上，是增函数，故．定义域为， 而． 当时，恒成立，在上是减函数， 所以，不成立； 当时，由，得；由，得， 所以在单调递减，在单调递减． 若，即时，在是减函数， 所以，不成立； 若，即时，在处取得最小值，， 令， 则在上恒成立， 所以在是增函数且， 此时成立，满足条件．综上所述，． 22．（1）由题意可知，又椭圆经过点知 解得，所以； （2）设直线方程, 与椭圆C交于 ，得 , 直线，即 因此M坐标为，同理可知 由知： 化简整理得 则 整理： 若则直线，过点P不符合题意 若则直线符合题意 直线过点 于是为定值且为直角三角形且为斜边 所以中点R满足为定值 此时点R的坐标为. 试卷第12页，共4页 学科网（北京）股份有限公司