河北省邯郸市广府镇石官营中学2022年高三数学理联考试卷含解析

河北省邯郸市广府镇石官营中学2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域的面积为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 展开式中第项与第项的二项式系数相等， 所以，解得，那么与围成的封闭圆形区域的面积为 ．故选． 2. 右图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为 （    ）  A. B.    C.  D. 参考答案： D 小正方形边长为，所以圆半径为，圆面积为， 又大正方形的棱长为，所以正方形面积为， 由几何概型概率公式可得，故选D.   3. 在中，,则最短边的边长是               （　　  ）          A．                              B．                              C．                                  D． 参考答案： A 略 4. 将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每盒放2个，则标号为1，6的小球不在同一盒中的概率为(     ) A.            B.             C.              D. 参考答案： A 略 5. 若的展开式中各项系数的和为32，则该展开式的常数项为(    ) A.10 B.6 C.5 D.4 参考答案： A 6. 若，则等于(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】两角和与差的余弦函数． 【专题】计算题． 【分析】将看作整体，将化作的三角函数． 【解答】解：==﹣=﹣=2﹣1=2×﹣1=． 故选A 【点评】观察已知的角与所求角的练习，做到整体代换． 7. 已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（　　） A．{x|x≥0} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【分析】求函数定义域得集合A，解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B． 【解答】解：集合A={x|y=}={x|x≥0}， B={x|x2﹣x＞0}={x|x＜0或x＞1}， 则A∩B={x|x＞1}． 故选：C． 【点评】本题考查了求函数定义域和解不等式的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题． 8. 已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=πx，x∈A}，则A∩B=（　　） A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．{0，1} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【分析】根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B． 【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=πx，x∈A}={，1，π}， ∴A∩B={1}， 故选：C． 9. 已知函数①，②，则下列结论正确的是(     )    A.两个函数的图象均关于点成中心对称.    B.①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②.    C.两个函数在区间上都是单调递增函数.    D.两个函数的最小正周期相同. 参考答案： C 略 10. 已知，那么角是 (      ) A. 第一或第二象限角                B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角                D. 第一或第四象限角 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 参考答案： 12. 设函数，对任意，恒成立，则实数 的取值范围是_____________________ 参考答案： 13. 若，则的最小值是        ． 参考答案： 略 14. 设变量x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为　   　． 参考答案： 2 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）： 则z的几何意义为区域内的点P到定点D（﹣1，﹣1）的直线的斜率， 由图象可知当直线过C点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大， 由，解得，即A（0，1）， 此时AD的斜率z==2， 故答案为：2． 15. 已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=         ． 参考答案： ﹣1 【考点】同角三角函数间的基本关系． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值． 【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=， ∴sin（α﹣）=1， ∵α∈（0，π）， ∴α﹣=，即α=， 则tanα=﹣1． 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 16. 设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于      . 参考答案： 解析：设球半径为，圆的半径为，     因为。由得.故球的表面积等于. 17. 在△中，,,则的长度为________. 参考答案： 2或1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．     （1）设，=,求中的大小； （2）设向量, ,且∥,若，求的值． 参考答案： 19. 已知过点P(2,1)的椭圆的离心率为. （1）求椭圆方程； （2）不过坐标原点O的直线l与椭圆E交于A，B两点(异于点P，线段AB的中点为D,直线OD的斜率为1.记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.问k1k2是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由. 参考答案： （Ⅰ）由题意得 ,解得,则椭圆的方程为 (Ⅱ)由题意可设直线方程为,令则. 直线的斜率为1,, 即  (1)           则 代入(1)式得, 因此, 则 ,即为定值 20. （本小题满分14分） 已知函数． （Ⅰ）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值； （Ⅲ）证明不等式． 参考答案： （Ⅰ）的定义域是， 当时，，递减，当时，，递增 ∴ 依题意得，，故的取值范围      …4分 （Ⅱ）当时，，的定义域是 ， 令      由（Ⅰ）知，的最小值是递增，又      时，，递减，当时，，递增，∴                        …9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得，时， ， 令， 则                         …14分 21. 设函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，设向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1），g（x）=． （1）求函数f（x）的递增区间； （2）求函数g（x）在区间[，]上的最大值和最小值； （3）若x∈[0，2015π]，求满足的实数x的个数． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算． 【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】（1）由函数f（x）的最小正周期为π，求出ω值，得到函数的解析式，利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间即可； （2）求出函数g（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质，求出x∈[，]时，函数的值域，可得函数g（x）在区间[，]上的最大值和最小值； （3）满足时，x=kπ，k∈Z，结合x∈[0，2015π]，可得满足条件的实数x的个数． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π， ∴ω=2， ∴f（x）=4sin（2x+）， 由2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z得： 2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z， 即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z， 即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z， （2）∵向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1）， ∴g（x）==﹣f（﹣x）+f（x）=﹣4sin（﹣2x+）+4sin（2x+）=4sin2x， ∵x∈[，]， ∴2x∈[，]， ∴4sin2x∈[2，4]， 即函数g（x）在区间[，]上的最大值为4，最小值为2； （3）若，则=4sin2x=0， 则2x=kπ，k∈Z， x=kπ，k∈Z， 又∵x∈[0，2015π]， 故k的值有2×2015+1=4031个． 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域的知识，考查计算能力． 22. 已知函数，. 当m=－2时，求不等式的解集； ，都有恒成立，求m的取值范围. 参考答案： 当m=-2时，, 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为. 当时， 当时，不等式化为. 由 当且仅当即时等号成立. ，. 当时，不等式化为. ，令，. ， 在上是增函数. 当时，取到最大值为. . 综上.